回答下列兩個問題，給出例子或給出證明。

   （1）對任意正整數(shù)n，在平面上是否都存在n伸不在同一條直線上的點，使得任意兩點間的距離都為正整數(shù)？

   （2）在平面上是否存在兩兩不同的無限點列組成的點集M，使得M內(nèi)所有點不在同一條直線上，且M內(nèi)任意兩點間的距離為正整數(shù)？

解析：（1）存在，對于n∈N+，取互不相同的n個質(zhì)數(shù)P1，P2，…，Pn，

        令ai=P1P2…Pi，bi=Pi+1Pi+2…Pn，（i=1，2，…n－1），顯然ai，bi∈N+，

        令m=P1P2…Pn，于是m=aibi（i=1，2，…，n－1）

        在y軸上取點A（0，2m），在x軸上取點，易知這n個點A，B1，B2，…，Bn－1­不在同一條直線上，且

         

   （2）不存在，不然，假高存在不共線的無限點列組成的點集M，且M內(nèi)任意兩點間的距離都為正整數(shù)，取不共線的三點A、B、C∈M，注意到三角形兩邊之差之絕對值小于第三邊，則M內(nèi)其余點到點A與點B的距離之差，只能�。瓅AB|到|AB|之間的整數(shù)值，而－AB到AB之間的整數(shù)值總共只有有限個，由雙曲線定義可知，M內(nèi)除去A、B、C三點的其余無限多個點必在以點A和點B為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上，稱它們?yōu)锳B族雙曲線，同理，M內(nèi)除去A、B、C三點的其余無限多個點必在以點B和點C為兩個焦點的有限條互不相交的雙曲線上，稱它們?yōu)锽C族雙曲線。

            由于A、B、C三點不共線，故兩族雙曲線的交點顯然只有有限個，然而M內(nèi)除去A、B、C三點的其余無限多個點中的每個點既在AB族雙曲線上，又在BC族雙曲線，從而必在兩族雙曲線的交點上，而兩族雙曲線的交點個數(shù)有限，矛盾？

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•金山區(qū)二模）（1）設(shè)u、v為實數(shù)，證明：u2+v2≥
(u+v)2
2
；（2）請先閱讀下列材料，然后根據(jù)要求回答問題．
材料：已知△LMN內(nèi)接于邊長為1的正三角形ABC，求證：△LMN中至少有一邊的長不小于
1
2
．
證明：線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長分別設(shè)為a1、a2、b1、b2、c1、c2，設(shè)LN、LM、MN的長為x、y、z，
x2=a12+a22-2a1a2cos60°=a12+a22-a1a2
同理：y2=b12+b22-b1b2，z2=c12+c22-c1c2，
x2+y2+z2=a12+a22+b12+b22+c12+c22-a1a2-b1b2-c1c2
…
請利用（1）的結(jié)論，把證明過程補充完整；
（3）已知n邊形A1′A2′A3′…An′內(nèi)接于邊長為1的正n邊形A1A2…An，（n≥4），思考會有相應(yīng)的什么結(jié)論？請?zhí)岢鲆粋�的命題，并給與正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應(yīng)給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

（2009•金山區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）請先閱讀下列材料，然后回答問題．
材料：已知函數(shù)g（x）=-
1
f(x)
，問函數(shù)g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．一個同學給出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x2-x，則u=-（x+
1
2
）2+
1
4
，
當x=-
1
2
時，u有最大值，umax=
1
4
，顯然u沒有最小值，
∴當x=-
1
2
時，g（x）有最小值4，沒有最大值．
請回答：上述解答是否正確？若不正確，請給出正確的解答；
（3）設(shè)an=
f(n)
2n-1
，請?zhí)岢龃藛栴}的一個結(jié)論，例如：求通項an．并給出正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，．解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應(yīng)給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（1）設(shè)u、v為實數(shù)，證明：u2+v2≥數(shù)學公式；（2）請先閱讀下列材料，然后根據(jù)要求回答問題．
材料：已知△LMN內(nèi)接于邊長為1的正三角形ABC，求證：△LMN中至少有一邊的長不小于數(shù)學公式．
證明：線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長分別設(shè)為a1、a2、b1、b2、c1、c2，設(shè)LN、LM、MN的長為x、y、z，
x2=a12+a22-2a1a2cos60°=a12+a22-a1a2
同理：y2=b12+b22-b1b2，z2=c12+c22-c1c2，
x2+y2+z2=a12+a22+b12+b22+c12+c22-a1a2-b1b2-c1c2
…
請利用（1）的結(jié)論，把證明過程補充完整；
（3）已知n邊形A1′A2′A3′…An′內(nèi)接于邊長為1的正n邊形A1A2…An，（n≥4），思考會有相應(yīng)的什么結(jié)論？請?zhí)岢鲆粋�的命題，并給與正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應(yīng)給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年上海市金山區(qū)高考數(shù)學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）請先閱讀下列材料，然后回答問題．
材料：已知函數(shù)g（x）=，問函數(shù)g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．一個同學給出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x2-x，則u=-（x+）2+，
當x=-時，u有最大值，umax=，顯然u沒有最小值，
∴當x=-時，g（x）有最小值4，沒有最大值．
請回答：上述解答是否正確？若不正確，請給出正確的解答；
（3）設(shè)an=，請?zhí)岢龃藛栴}的一個結(jié)論，例如：求通項an．并給出正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，．解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應(yīng)給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

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