(2009•金山區(qū)二模)(1)設(shè)u、v為實(shí)數(shù),證明:u2+v2
(u+v)2
2
;(2)請(qǐng)先閱讀下列材料,然后根據(jù)要求回答問(wèn)題.
材料:已知△LMN內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC,求證:△LMN中至少有一邊的長(zhǎng)不小于
1
2

證明:線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長(zhǎng)分別設(shè)為a1、a2、b1、b2、c1、c2,設(shè)LN、LM、MN的長(zhǎng)為x、y、z,
x2=a12+a22-2a1a2cos60°=a12+a22-a1a2
同理:y2=b12+b22-b1b2,z2=c12+c22-c1c2
x2+y2+z2=a12+a22+b12+b22+c12+c22-a1a2-b1b2-c1c2

請(qǐng)利用(1)的結(jié)論,把證明過(guò)程補(bǔ)充完整;
(3)已知n邊形A1′A2′A3′…An′內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正n邊形A1A2…An,(n≥4),思考會(huì)有相應(yīng)的什么結(jié)論?請(qǐng)?zhí)岢鲆粋(gè)的命題,并給與正確解答.
注意:第(3)題中所提問(wèn)題單獨(dú)給分,解答也單獨(dú)給分.本題按照所提問(wèn)題的難度分層給分,解答也相應(yīng)給分,如果同時(shí)提出兩個(gè)問(wèn)題,則就高不就低,解答也相同處理.
分析:(1)因?yàn)閡2+v2≥2uv,所以2(u2+v2)≥(u+v)2,從而有:u2+v2
(u+v) 2
2
;
(2)補(bǔ)上:因?yàn)?nbsp;u2+v2
(u+v) 2
2
,所以x2+y2+z2
(a 1+a 2 2
2
+
(b 1+b 2) 2
2
+
(c 1+c 2) 2
2
-a1a2-b1b2-c1c2平方化開(kāi)后再結(jié)合條件利用反證法即得.
(3)命題1:已知四邊形MNPQ內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,求證:四邊形MNPQ中至少有一邊的長(zhǎng)不小于
2
2

命題2:如圖2,已知六邊形A1B1C1D1E1F1內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF,求證:六邊形A1B1C1D1E1F1中,至少有一邊的長(zhǎng)不小于
3
2

命題3:如圖3,已知n邊形A1A2…An內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正n邊形A1A2…An,(n≥4).求證:n邊形A1′A2′A3′…An′中,至少有一邊的長(zhǎng)不小于cos
π
n
(其中n≥3).下面對(duì)三個(gè)命題進(jìn)行證明即可.
解答:證明:(1)因?yàn)閡2+v2≥2uv,所以2(u2+v2)≥(u+v)2,
即有:u2+v2
(u+v) 2
2
…(2分)
(2)因?yàn)?nbsp;u2+v2
(u+v) 2
2

所以x2+y2+z2
(a 1+a 2 2
2
+
(b 1+b 2) 2
2
+
(c 1+c 2) 2
2
-a1a2-b1b2-c1c2
=
1
2
[a12+a22+b12+b22+c12+c22]…(3分)
1
2
[
(a 1+c 2) 2
2
+
(a 2+b 1) 2
2
+
(b 2+c 1) 2
2
]=
3
4
,…(4分)
因?yàn)閤2+y2+z2
3
4
,所以x2、y2、z2中至少有一個(gè)不小于
1
4
,即在x、y、z中至少有一個(gè)不小于
1
2
.…(6分)
(3)解:命題1:如圖1,已知四邊形MNPQ內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,求證:四邊形MNPQ中至少有一邊的長(zhǎng)不小于
2
2

證明:線段AQ、AM、BM、BN、CN、CP、DP、DQ分別設(shè)為a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2,設(shè)MN、NP、PQ、QM為w、x、y、z,
因?yàn)閍1+d2=1,a2+b1=1,b2+c1=1,c2+d1=1,
所以(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2)=4
這四組數(shù)中至少有一組數(shù)不小于1,不妨假定a1+a2≥1,那么a2≥1-a1
因?yàn)閦2=a12+a22≥a12+(1-a12=2a12-2a1+1=2(a1-
1
2
2+
1
2
1
2

所以z≥
2
2
,即四邊形MNPQ中至少有一邊的長(zhǎng)不小于
2
2

命題:(3分);證明:(3分)

命題2:如圖2,已知六邊形A1B1C1D1E1F1內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF,求證:六邊形A1B1C1D1E1F1中,至少有一邊的長(zhǎng)不小于
3
2

證明:分別設(shè)線段AF1、AA1、BA1、BB1、…、FE1、FF1為a1、a2、b1、b2、…、f1、f2,如圖所示.
因?yàn)閍1+f2=1,a2+b1=1,b2+c1=1,c2+d1=1,d2+e1=1,e2+f1=1,
所以(a1+a2)+(b1+b2)+…+(f1+f2)=6,
這六組數(shù)中至少有一組數(shù)不小于1,不妨假定a1+a2≥1,那么a2≥1-a1,
因?yàn)锳1F12=AA12+AF12-2AA1.AF1cos120°=a12+a22+a1a2
≥a12+(1-a12+a1(1-a1)=a12-a1+1=(a1-
1
2
2+
3
4
3
4
,
所以A1F1
3
2
,即六邊形A1B1C1D1E1F1中,至少有一邊的長(zhǎng)不小于
3
2

命題:(5分);證明:(5分)


命題3:如圖3,已知n邊形A1A2…An內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正n邊形A1A2…An,(n≥4).求證:n邊形A1′A2′A3′…An′中,至少有一邊的長(zhǎng)不小于cos
π
n
(其中n≥3).
證明:分別設(shè)線段A1 An′、A1A1′、A2A1′、A2A2′、…、AnA n-1′、AnAn′為a1、a1′、a2、a2′、…、an、an′,
因?yàn)閍1+a′=a2+a1′=a3+a2′=…=an+a n-1′=1,
所以(a1+a1′)+(a2+a2′)+…+(an+an′)=n.
這n組數(shù)中至少有一組數(shù)不小于1,不妨假定a1+a1′≥1,那么a1′≥1-a1
于是在△A1A1′An′中有:
A1 An′2=A1A12+A1An2-2 A1A1′.A1An′cos
(n-2)π
n

=a12+a12-2a1a1′cos
(n-2)π
n
≥a12+(1-a12-2 a1 (1-a1) cos
(n-2)π
n

=2[cos
(n-2)π
n
+1]a12-2[cos
(n-2)π
n
+1]a1+1
=2[cos
(n-2)π
n
+1]( a1-
1
2
2+
1
2
[1-cos
(n-2)π
n
]
1
2
[1-cos
(n-2)π
n
]=sin2
(n-2)π
n
=cos2
π
n

故A1′An′≥cos
π
n
,即n邊形A1′A2′A3′…An′中,至少有一邊的長(zhǎng)不小于cos
π
n

命題:(7分);證明:(7分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查不等式的證明、數(shù)列的應(yīng)用、三角變換公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
(n∈N*),則從“n=k到n=k+1”,左邊所要添加的項(xiàng)是( 。

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(2009•金山區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x.(1)解不等式:f(x)<0;(2)請(qǐng)先閱讀下列材料,然后回答問(wèn)題.
材料:已知函數(shù)g(x)=-
1
f(x)
,問(wèn)函數(shù)g(x)是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,說(shuō)明理由.一個(gè)同學(xué)給出了如下解答:
解:令u=-f(x)=-x2-x,則u=-(x+
1
2
2+
1
4

當(dāng)x=-
1
2
時(shí),u有最大值,umax=
1
4
,顯然u沒(méi)有最小值,
∴當(dāng)x=-
1
2
時(shí),g(x)有最小值4,沒(méi)有最大值.
請(qǐng)回答:上述解答是否正確?若不正確,請(qǐng)給出正確的解答;
(3)設(shè)an=
f(n)
2n-1
,請(qǐng)?zhí)岢龃藛?wèn)題的一個(gè)結(jié)論,例如:求通項(xiàng)an.并給出正確解答.
注意:第(3)題中所提問(wèn)題單獨(dú)給分,.解答也單獨(dú)給分.本題按照所提問(wèn)題的難度分層給分,解答也相應(yīng)給分,如果同時(shí)提出兩個(gè)問(wèn)題,則就高不就低,解答也相同處理.

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