Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當時，；

（3）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立．

Answer 1

【答案】（1）當時單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；

（2）詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先對求導(dǎo)，然后對進行討論，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論；（3）構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解的值．

試題解析：（1）由，得．

當時，在成立，則為上的減函數(shù)；

當時，由，得，

∴當時，，當時，．

則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．

綜上，當時，為上的減函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．

（2）證明：要證，即，即證，也就是證．

令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，

即當時，，∴當時，；

（3）由，得．

設(shè)，由題意知，在內(nèi)恒成立．

∵，∴有在內(nèi)恒成立．

令，則，

當時，，

令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴．

又，，∴，．

綜上所述，，，在區(qū)間單調(diào)遞增，

∴，即在區(qū)間單調(diào)遞增，∴．