Question

已知數(shù)列{a_n}中，．（1）求a₂，a₃，a₄的值；（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

解：（1）通過n=1，=，n=2，當(dāng)=，當(dāng)n=3，利用=．
所以a₂，a₃，a₄的值分別為：．
（2）由（1）可知數(shù)列的前4項(xiàng)為：；分子為正自然數(shù)列，分母為正自然數(shù)加2，所以猜想a_n的表達(dá)式為：．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立，
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即：，
那么，n=k+1時(shí)，===．
就是說，n=k+1時(shí)猜想成立．由①②可知對(duì)于n∈N₊時(shí)猜想成立．
分析：（1）通過n=1，2，3，利用求出a₂，a₃，a₄的值即可．
（2）根據(jù)（1）數(shù)列前4項(xiàng)的數(shù)值特征，猜想a_n的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法加驗(yàn)證n=1時(shí)猜想成立，然后假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，證明n=k+1時(shí)猜想也成立．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查已知數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)．