Question

將數(shù)列{a_n}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下表：
記表中的第一列數(shù)a₁，a₂，a₄，a₇，…，構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，b₁=a₁=1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且滿足．
（1）求證數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）上表中，若a₈₁項(xiàng)所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列，且公比q為正數(shù)，求當(dāng)時(shí)，公比q的值．

Answer 1

解：（1）由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，，又b_n=S_n-S_n-1，（1分）
所以．（2分）
即，所以，（4分）
又S₁=b₁=a₁=1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．（5分）
所以，即．（7分）
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，，（9分）
因此（10分）
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538233.png' />，
所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{a_n}的前78項(xiàng)，故a₈₁在表中第13行第三列．（12分）
所以，，（13分）
又，所以q=2．（14分）
分析：（1）由，知，所以，由此能夠推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/538233.png' />，所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{a_n}的前78項(xiàng)，故a₈₁在表中第13行第三列，由此能求出當(dāng)時(shí)，公比q的值．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要靈活運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法，合理地利用遞推公式，仔細(xì)審題，認(rèn)真解答．