將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表.記表中第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1.Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足2bn=bnSn-Sn2(n≥2,n∈N*).
(1)證明數(shù)列{
1
Sn
}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)圖中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個正數(shù).當(dāng)a81=-
4
91
時,求上表中第k(k≥3)行所有數(shù)的和.
分析:(1)由n≥2時,2bn=bnSn-Sn2,得2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-Sn2=-SnSn-1,兩邊同除以SnSn-1整理后得
1
Sn
-
1
Sn-1
=
1
2
,由此可知數(shù)列{
1
Sn
}是等差數(shù)列,從而可求得Sn,根據(jù)Sn與bn的關(guān)系可求得bn;
(2)設(shè)上表中從第三行起,每行中的數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比都為q,且q>0.易判斷a81所在的行和列,借助bn可求得公比q,再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果;
解答:解:(1)由已知,當(dāng)n≥2時,2bn=bnSn-Sn2,
又Sn=b1+b2+b3+…+bn
∴2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)Sn-Sn2=-SnSn-1,
1
Sn
-
1
Sn-1
=
1
2
,又S1=b1=a1=1.
∴數(shù)列{
1
Sn
}是首項(xiàng)為1,公差為
1
2
的等差數(shù)列.  
1
Sn
=1+
1
2
(n-1)=
n+1
2
,則Sn=
2
n+1

∴當(dāng)n≥2時,bn=Sn-Sn-1=
2
n+1
-
2
n
=-
2
n(n+1)
,
bn=
1,(n=1)
-
2
n(n+1)
,(n≥2,n∈N*)

(2)設(shè)上表中從第三行起,每行中的數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比都為q,且q>0.
∵1+2+…+12=
12×13
2
=78,
∴表中第1行至第12行共含有數(shù)列{an}的前78項(xiàng),
故a81在表中第13行第3列,∴a81=b13q2=-
4
91

b13=-
2
13×14
,∴q=2.                         
記表中第k(k≥3)行所有數(shù)的和為Sn,則
Sn=
bk(1-qk)
1-q
=-
2
k(k+1)
(1-2k)
1-2
=
2
k(k+1)
•(1-2k)(k≥3,k∈N*)
點(diǎn)評:本題考查等差關(guān)系的確定、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和,屬中檔題,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下表:
記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…,構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足
2bn
bnSn-
S
2
n
=1(n≥2)

(1)求證數(shù)列{
1
Sn
}
成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)上表中,若a81項(xiàng)所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比q為正數(shù),求當(dāng)a81=-
4
91
時,公比q的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且2an-1<an-1+an+1<2an+1(n∈N,n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表:
精英家教網(wǎng)

依次計(jì)算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b5+b100的值;
(3)令cn=2+ban+b•2an-1(b為大于等于3的正整數(shù)),問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下表:
記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…,構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,且滿足數(shù)學(xué)公式
(1)求證數(shù)列數(shù)學(xué)公式成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)上表中,若a81項(xiàng)所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比q為正數(shù),求當(dāng)數(shù)學(xué)公式時,公比q的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省淮安市洪澤中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且2an-1<an-1+an+1<2an+1(n∈N,n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表:


依次計(jì)算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b5+b100的值;
(3)令(b為大于等于3的正整數(shù)),問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng);若不存在,請說明理由.

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