Question

求滿足下列關(guān)系式組的正整數(shù)解組的個(gè)數(shù)．

Answer 1

131

[解] 令，由條件知，方程化為
，即．      （1）
因，故，從而．
設(shè)．因此（1）化為
．                     （2）          
下分為奇偶討論，
（ⅰ）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由（2）知為奇數(shù)．
令，，代入（2）得
．     （3）
（3）式明顯無整數(shù)解．故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，原方程無正整數(shù)解．             
（ⅱ）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，由方程（2）知也為偶數(shù)．從而可設(shè)，代入（2）化簡得
．                     （4）
由（4）式有，故，從而可設(shè)，則（4）可化為，
．　　　　　　　　　　　（5）
因為整數(shù)，故．                                 
又，因此
，得，
．
因此，對(duì)給定的，解的個(gè)數(shù)恰是滿足條件的的正因數(shù)的個(gè)數(shù)．因不是完全平方數(shù)，從而為的正因數(shù)的個(gè)數(shù)的一半．即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由題設(shè)條件，．而
25以內(nèi)有質(zhì)數(shù)9個(gè)：2，3，5，7，11，13，17，19，23．將25以內(nèi)的數(shù)分為以下八組：：
，
，
，
，
，
，
，
，
從而易知

，
，
，
，
，
，
，
將以上數(shù)相加，共131個(gè)．因此解的個(gè)數(shù)共131．