【題目】已知函數f(x)=x2﹣1.
(1)對于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,求實數m的取值范圍;
(2)若對任意實數x1∈[1,2].存在實數x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,求實數a的取值范圍.
【答案】
(1)解:對于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,
即為4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,
由1≤x≤2,可得4m2≤ ,
由g(x)= =4( + )2﹣ ,
當x=2,即 = 時,g(x)取得最小值,且為1,
即有4m2≤1,解得﹣ ≤m≤ ;
(2)解:對任意實數x1∈[1,2].
存在實數x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,
可設f(x)在[1,2]的值域為A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域為B,
可得AB.
由f(x)在[1,2]遞增,可得A=[0,3];
當a<0時,h(x)=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]遞增,可得B=[﹣a,6﹣2a],
可得﹣a≤0<3≤6﹣2a,不成立;
當a=0時,h(x)=2x2﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]遞增,可得B=[0,6],
可得0≤0<3≤6,成立;
當0<a≤2時,由h(x)=0,解得x= >1(負的舍去),
h(x)在[1, ]遞減,[ ,2]遞增,
即有h(x)的值域為[0,h(2)],即為[0,6﹣2a],
由0≤0<3≤6﹣2a,解得0<a≤ ;
當2<a≤3時,h(x)在[1, ]遞減,[ ,2]遞增,
即有h(x)的值域為[0,h(2)],即為[0,a],
由0≤0<3≤a,解得a=3;
當3<a≤4時,h(x)在[1,2]遞減,可得B=[2a﹣6,a],
由2a﹣6≤0<3≤a,無解,不成立;
當4<a≤6時,h(x)在[1, ]遞增,在[ ,2]遞減,可得B=[2a﹣6,2+ ],
由2a﹣6≤0<3≤2a,不成立;
當6<a≤8時,h(x)在[1, ]遞增,在[ ,2]遞減,可得B=[a,2+ ],
由a≤0<3≤2a,不成立;
當a>8時,h(x)在[1,2]遞增,可得B=[a,2a﹣6],
AB不成立.
綜上可得,a的范圍是0≤a≤ 或a=3.
【解析】(1)由題意可得4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,由1≤x≤2,可得4m2≤ ,運用二次函數的最值的求法,可得右邊函數的最小值,解不等式可得m的范圍;(2)f(x)在[1,2]的值域為A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域為B,由題意可得AB.分別求得函數f(x)和h(x)的值域,注意討論對稱軸和零點,與區(qū)間的關系,結合單調性即可得到值域B,解不等式可得a的范圍.
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知當時,拋物線開口向上,函數在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數在上遞增,在上遞減.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=2 ﹣3(ω>0)
(1)若 是最小正周期為π的偶函數,求ω和θ的值;
(2)若g(x)=f(3x)在 上是增函數,求ω的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)是定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數,在區(qū)間(﹣∞,0)單調遞增且f(﹣1)=0.若實數a滿足 ,則實數a的取值范圍是( )
A.[1,2]
B.
C.(0,2]
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面,且PA=AB=AC.
(1)求證:PA∥平面QBC;
(2)PQ⊥平面QBC,求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究,他們分別記錄了11月1日至11月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數,得到如表資料:
日期 | 11月1日 | 11月2日 | 11月3日 | 11月4日 | 11月5日 |
溫差x(℃) | 8 | 11 | 12 | 13 | 10 |
發(fā)芽數y(顆) | 16 | 25 | 26 | 30 | 23 |
設農科所確定的研究方案是:先從這五組數據中選取2組,用剩下的3組數據求線性回歸方程,再對被選取的2組數據進行檢驗.
(注: , )
(1)求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率;
(2)若選取的是11月1日與11月5日的兩組數據,請根據11月2日至11月4日的數據,求出y關于x的線性回歸方程 ;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液,已知每投放(且)個單位的營養(yǎng)液,它在水中釋放的濃度 (克/升)隨著時間 (天)變化的函數關系式近似為,其中,若多次投放,則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和,根據經驗,當水中營養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時,它才能有效.
(1)若只投放一次2個單位的營養(yǎng)液,則有效時間最多可能達到幾天?
(2)若先投放2個單位的營養(yǎng)液,3天后再投放個單位的營養(yǎng)液,要使接下來的2天中,營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效,試求的最小值.
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