【題目】如圖,在底面為矩形的四棱錐中,平面平面.
(1)證明:;
(2)若,,設(shè)為中點(diǎn),求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)由平面平面可得面,從而可得;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求出向量及面法向量,代入公式即可得到結(jié)果.
(1)依題意,面面,,
∵面,面面,
∴面.
又面,
∴.
(2)解法一:向量法
在中,取中點(diǎn),∵,
∴,∴面,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為軸,過點(diǎn)且平行于的直線為軸,所在的直線為軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),∵,∴,
∴,,,,,
∴,,.
設(shè)面法向量為,
則,解得.
設(shè)直線與平面所成角為,
則,
因?yàn)?/span>,∴.
所以直線與平面所成角的余弦值為.
(2)解法二:幾何法
過作交于點(diǎn),則為中點(diǎn),
過作的平行線,過作的平行線,交點(diǎn)為,連結(jié),
過作交于點(diǎn),連結(jié),
連結(jié),取中點(diǎn),連結(jié),,
四邊形為矩形,所以面,所以,
又,所以面,
所以為線與面所成的角.
令,則,,,
由同一個(gè)三角形面積相等可得,
為直角三角形,由勾股定理可得,
所以,
又因?yàn)?/span>為銳角,所以,
所以直線與平面所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求證:
(2)若不等式在上恒成立,求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”,為了確定未來發(fā)展方向此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天,這五家“農(nóng)家樂的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表,x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位:元/日),t為入住天數(shù)(單位:天),以頻率作為各自的“入住率”,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖
x | 100 | 150 | 200 | 300 | 450 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 |
(1)若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深人調(diào)查,記為“入住率超過0.6的農(nóng)家樂的個(gè)數(shù),求的概率分布列
(2)z=lnx,由散點(diǎn)圖判斷與哪個(gè)更合適于此模型(給出判斷即可不必說明理由)?并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程(a,的結(jié)果精確到0.1)
(3)根據(jù)第(2)問所求的回歸方程,試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí),100天銷售額L最大?(100天銷售額L=100×入住率×收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x)
參考數(shù)據(jù), ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為、.
(1)若矩形的邊在軸上,點(diǎn)、均在上,求該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱側(cè)面積的取值范圍;
(2)設(shè)斜率為的直線與交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為(),求證:;
(3)過上一動點(diǎn)作直線,其中,過作直線的垂線交軸于點(diǎn),問是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立,若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是菱形,四邊形是矩形,平面平面,,,,為的中點(diǎn),為線段上的一點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若二面角的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
()判斷下列函數(shù):①;②;③中,哪些是等比源函數(shù)?(不需證明)
()判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù),并證明你的結(jié)論.
()證明: , ,函數(shù)都是等比源函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, ,若,則對此不等式描敘正
確的是( )
A. 若,則至少存在一個(gè)以為邊長的等邊三角形
B. 若,則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形
C. 若,則對任意滿足不等式的都存在以為邊長的三角形
D. 若,則對滿足不等式的不存在以為邊長的直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究機(jī)構(gòu)為了解某學(xué)校學(xué)生使用手機(jī)的情況,在該校隨機(jī)抽取了60名學(xué)生(其中男、女生人數(shù)之比為2:1)進(jìn)行問卷調(diào)查.進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后將這60名學(xué)生按男、女分為兩組,再將每組學(xué)生每天使用手機(jī)的時(shí)間(單位:分鐘)分為5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖(所抽取的學(xué)生每天使用手機(jī)的時(shí)間均不超過50分鐘).
(1)求出女生組頻率分布直方圖中的值;
(2)求抽取的60名學(xué)生中每天使用手機(jī)時(shí)間不少于30分鐘的學(xué)生人數(shù).
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