Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）求函數(shù)的極值點；

（2）已知T(，)為函數(shù)，的公共點，且函數(shù)，在點T處的切線相同，求a的值；

（3）若函數(shù)在(0，)上的零點個數(shù)為2，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(2)a = e. （3）a > e.

【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點和在零點兩側(cè)的單調(diào)性，進而得到極值點；（2）點T（x0，y0）為函數(shù)，的公共點，且函數(shù)，在點T處的切線相同，所以 且，聯(lián)立兩式消參得到，從而求出零點，進而得到參數(shù)值；（3）設(shè)函數(shù)，.則，令得，，函數(shù)單調(diào)故不可能有2個零點，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明a > e時有2個零點即可.

（1）因為，所以.

令得，x = -1，

當時，；當時，，

所以函數(shù)的極小值點為x = -1，不存在極大值點.

（2）依題意.

因為點T（x0，y0）為函數(shù)，的公共點，且函數(shù)，在點T處的切線相同.

所以 且，

由②得，，代入①得，，顯然，

所以.

因為滿足該方程，且函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，所 以，，a = e.

（3）設(shè)函數(shù)，.

則，

令得，.

當時，，所以為（0，+）上單調(diào)增函數(shù)，至多1個零點，不符，舍去；

當a > 0時，得，，由（1）知，為（-1，+）上單調(diào)增函數(shù)，所以在（0，+）上有唯一解，記為， 即的根為.

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增.

因為函數(shù)的零點個數(shù)為2.

下證：a > e時，函數(shù)在（0，+）上的零點個數(shù)為2.

因為，

，

，

根據(jù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理知，函數(shù)在（，x1）上存在一個零點，在（x1，2a）上存在一個零點，故函數(shù)在（0，+）上的零點個數(shù)為2.

所以a > e.