【題目】離心率的橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上.過(guò)點(diǎn)的斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)、，且滿(mǎn)足.

（1）固定，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求橢圓的方程；

（2）若變化，且，試問(wèn)：實(shí)數(shù)和分別為何值時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最大值？并求出此時(shí)橢圓的方程.

【答案】（1）（2）當(dāng)，時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最大值.此時(shí)，橢圓方程為

【解析】

設(shè)橢圓方程為.則由，得.

從而，橢圓方程化為.

設(shè)，且與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、.

由，得 ①

聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程得.

則，且

， ②

. ③

由式①、②得.

（1）當(dāng)固定時(shí)，

，

其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立.

此時(shí)，.

結(jié)合式①得，.

代入式③得.

此時(shí)，橢圓的方程為.

（2）由式①、②得

，

.

代入式③得

.

由，，得.

易知，當(dāng)時(shí)，是的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.

因此，當(dāng)，時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)取得最大值.此時(shí)，橢圓方程為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某電商在雙十一搞促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)滿(mǎn)5件獲得積分30分（不足5件不積分），每多買(mǎi)2件再積20分（不足2件不積分），比如某顧客購(gòu)買(mǎi)了12件，則可積90分.為了解顧客積分情況，該電商在某天隨機(jī)抽取了1000名顧客，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的購(gòu)物數(shù)額，并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組，整理得到如圖頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中的值；

（2）從當(dāng)天購(gòu)物數(shù)額在，的顧客中按分層抽樣的方式抽取6人.那么，從這6人中隨機(jī)抽取2人，則這2人積分之和不少于240分的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：時(shí)，；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，計(jì)論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

（1）求未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系:

年入流量

發(fā)電量最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)

1

2

3

若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知點(diǎn)，圓.

（1）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且到圓心的距離為，求直線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)（的斜率為負(fù)），當(dāng)時(shí)，求以線(xiàn)段為直徑的圓的方程.

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【題目】為了解某苗圃基地的柏樹(shù)幼苗生長(zhǎng)情況，在這些樹(shù)苗中隨機(jī)抽取了120株測(cè)量高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計(jì)，樹(shù)苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，， 分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)當(dāng)?shù)匕貥?shù)苗生長(zhǎng)規(guī)律，高度不低于27cm的為優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗.

（1）求圖中的值；

（2）用樣本估計(jì)總體，頻率代替概率，若從這批樹(shù)苗中隨機(jī)抽取4株，其中優(yōu)質(zhì)樹(shù)苗的株數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù)，其中a為正實(shí)數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.

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（Ⅰ）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象不相交，求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值；

（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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