已知函數(shù)f(x)在定義域R上可導(dǎo)，設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝f(x)的圖象上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，f(a))，求證：a＋f(a)(a)＝0；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象不通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，證明直線OP與函數(shù)y＝f(x)的圖象上過P點(diǎn)的切線互相垂直．

答案：
解析：

　　(1)設(shè)Q(x，)為上的動點(diǎn)，則．

　　設(shè)，則

　　已知P是函數(shù)的圖象上距離原點(diǎn)O最近的一點(diǎn)，

　　為F(x)的最小值，即F(x)在處有最小值，即，可得；

　　(2)線段OP的斜率為的圖形上過P點(diǎn)的切線l的斜率為，由(1)知，因?yàn)閳D象不過原點(diǎn)，∴a≠0，得到．

　　∴OP⊥l，即直線OP與函數(shù)的圖象上過P點(diǎn)的切線垂直．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ax+
bx-1
-a(a∈R，a≠0)在x=3處的切線方程為（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求證：曲線g（x）上的任意一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=ax圍成的三角形面積為定值；
（2）若f（3）=3，是否存在實(shí)數(shù)m，k，使得f（x）+f（m-x）=k對于定義域內(nèi)的任意x都成立；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=ax-
b
x
-2lnx，f(1)=0．
（1）若函數(shù)f（x）在其定域義內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且an+1=f′(
1
an+1
)-nan+1．
①若a1≥3，求證：an≥n+2；
②若a1=4，試比較
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
與
2
5
的大小，并說明你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P是M，N的中點(diǎn)．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)（n∈N*，n≥2），求
lim
n→∞
4Sn-9Sn
4Sn+1+9Sn+1
的值；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（06年浙江卷理）（14分）

已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項(xiàng)x＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）

.

求證：當(dāng)n時(shí)，

  (Ⅰ)x 

（Ⅱ）

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3+x2，數(shù)列{xn}(xn＞0)的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))處的切線與經(jīng)過(0,0)和(xn，f(xn))兩點(diǎn)的直線平行(如圖).求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，

(1)+xn=3+2xn+1；

(2)()n-1≤xn≤()n-2.

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