Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

b

x-1

-a(a∈R，a≠0)在x=3處的切線方程為（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求證：曲線g（x）上的任意一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=ax圍成的三角形面積為定值；
（2）若f（3）=3，是否存在實(shí)數(shù)m，k，使得f（x）+f（m-x）=k對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都成立；

Answer 1

分析：（1）先由題意確定a值，再確定函數(shù)g（x）的表達(dá)式，然后求導(dǎo)數(shù)gˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由直線的方程求出切線方程最后利用直線的截距求出圍成的三角形面積為定值即可；
（2）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在m，k滿足題意，再利用對(duì)定義域內(nèi)任意x都成立，求出m，k的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="cxw9kzp" class="MathJye">f′(x)=a-

b

(x-1)2

，所以f′(3)=a-

b

4

=

2a-1

2

，b=2（2分）
又g(x)=f(x+1)=ax+

2

x

.
設(shè)g（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），因?yàn)?span id="exh6jsp" class="MathJye">g′(x)=a-

2

x2

，
所以切線方程為y-(ax0+

2

x0

)=(a-

2

x20

)(x-x0).（4分）
令x=0，得y=

4

x0

；再令y=ax，得x=2x₀，
故三角形面積S=

1

2

•|

4

x0

|•|2x0|=4，即三角形面積為定值．（6分）

（2）由f（3）=3得a=1，f(x)=x+

2

x-1

-1
假設(shè)存在m，k滿足題意，則有x-1+

2

x-1

+m-x-1+

2

m-x-1

=k，
化簡，得

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m對(duì)定義域內(nèi)任意x都成立，（8分）
故只有

m-2=0 k+2-m=0.

解得

m=2 k=0.

所以存在實(shí)數(shù)m=2，k=0，使得f（x）+f（m-x）=k對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立．（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷、基本不等式、直線的截距式方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．