Question

已知點Q是拋物線C₁：y²=2px（P＞0）上異于坐標原點O的點，過點Q與拋物線C₂：y=2x²相切的兩條直線分別交拋物線C₁于點A，B．
（Ⅰ）若點Q的坐標為（1，-6），求直線AB的方程及弦AB的長；
（Ⅱ）判斷直線AB與拋物線C₂的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Q（1，-6）在拋物線y²=2px上，求出拋物線方程為y²=36x，設出拋物線C₂的切線方程，與拋物線C₂聯(lián)立，用判別式等于零求出切線的斜率，把兩切線方程分別與拋物線C₁聯(lián)立求出點A，B，下求過兩點的直線方程與弦長．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），三個點都在拋物線C₁上，代入拋物線方程，利用點差法求出直線QA、直線QB的斜率，用點斜式寫出其方程，因其皆為拋物線C₂的切線，故聯(lián)立后用判別式為零得到兩個方程，從其形式上看，對其作差可以得到在點坐標之間的關系，求出y₀=-（y₁+y₂）達到用已知p，y₀表示f直線AB的斜率的目的，表示出直線AB的方程，將其與拋物線聯(lián)立求證出判別式為零，從而得出直線與曲線相切．

解答：解：（Ⅰ）由Q（1，-6）在拋物線y²=2px上可得，p=18，拋物線方程為y²=36x（1分）
設拋物線C₂的切線方程為：y+6=k（x-1）
聯(lián)立，

y+6=k(x-1) y=2x2

，由△=0，可得k=-4，k=12
由

y+6=-4(x-1) y2=36x

可知A(

1

4

，-3)
由

y+6=12(x-1) y2=36x

可知B(

9

4

，9)（3分）
易求直線AB方程為12x-2y-9=0（4分）
弦AB長為2

37

（5分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），三個點都在拋物線C₁上，
故有y₀²=2px₀，y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，作差整理得

y0-y1

x0-x1

=

2p

y0+y1

，

y0-y2

x0-x2

=

2p

y0+y2

所以直線QA：y=

2p

y0+y1

(x-x0)+y0，
直線QB：y=

2p

y0+y2

(x-x0)+y0（6分）
因為QA，QB均是拋物線C₂的切線，故與拋物線C₂方程聯(lián)立，△=0，
可得：p²+2y₀y₁（y₀+y₁）=0，p²+2y₀y₂（y₀+y₂）=0
兩式相減整理得：y₀（y₁-y₂）（y₀+y₁+y₂）=0，即可知y₀=-（y₁+y₂）（8分）
kAB=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

=-

2p

y0

所以直線AB：y-y1=-

2p

y0

(x-x1)，
與拋物線y=2x²聯(lián)立消去y得關于x的一元二次方程：2y₀x²+2px-y₁（y₁+y₀）=0（10分）
易知其判別式△=0，因而直線AB與拋物線y=2x²相切．故直線AB與拋物線C₂相切．（12分）

點評：考查求直線的方程與求弦長的方法，本題求弦長沒有用弦長公式，而采取了代數(shù)方法求出了兩的坐標，求弦長．在第二問中為了驗證直線與曲線的位置關系需要求出直線的方程，此過程比較復雜．