Question

已知點(diǎn)D（0，-2），過(guò)點(diǎn)D作拋線C₁：x²=2py（p＞0）的切線l，切點(diǎn)A在第一象限，如圖．
（1）求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；
（2）若離心率為

3

2

的橢圓C：

y2

a 2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）恰好經(jīng)過(guò)切點(diǎn)A，設(shè)切線l交橢圓的另一點(diǎn)為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k₂，k₃，若2k₁+k₂=3k，求拋物線C₁和橢圓C₂的方程．
（3）設(shè)P、Q分別是（2）中的橢圓C₂的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，M是橢圓C₂在第一象限的任意一點(diǎn)，求四邊形OPMQ面積的最大值以及此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)，得切線的方程，根據(jù)點(diǎn)D（0，-2）在l上，從而可求切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)；
（2）由e=

3

2

得a²=4b²，從而有橢圓方程為

y2

4b2

+

x2

b2

=1，將直線與橢圓聯(lián)立

y=kx-2 y2+4x2=4b2

得（k²+4）x²-4kx+4-4b²=0，利用2k₁+k₂=3k可求拋物線C₁和橢圓C₂的方程．
（3）設(shè)M（m，n）（m，n＞0），則4m²+n²=20，表示出四邊形OPMQ面積，利用基本不等式求最大值，從而求出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)切點(diǎn)A(x1， y1)，y1=

x 2 1

2p

，切線的方程為x₁x=p（y₁+y），又點(diǎn)D（0，-2）在l上，所以y₁=2，即切點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2；
（2）由（1）得A(2

p

，2)，切線斜率k=

2

p

①，設(shè)B（x₂，y₂），切線方程y=kx-2，由e=

3

2

得a²=4b²，∴橢圓方程為

y2

4b2

+

x2

b2

=1且過(guò)點(diǎn)A(2

p

，2)
由

y=kx-2 y2+4x2=4b2

得（k²+4）x²-4kx+4-4b²=0，∴

x1+x2=  4k k2+4 x1x2= 4-4b k2 +4

②
由2k₁+k₂=3k可得2x₁+4x₂=0，∴x1=2

p

，x2=-

p

代入②解得k=2，b²=5，∴a²=20，∴p=1
所以拋物線C₁的方程為x²=2y，橢圓C₂的方程

y2

20

+

x2

5

=1
（3）設(shè)M（m，n）（m，n＞0），則4m²+n²=20，S=

1

2

(

20

m+

5

n)=

5

2

(2m+n)≤

5

2

×

10

=

5

2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)2m=n，即m=

10

2

，n=

10

時(shí)，取“=”，故四邊形OPMQ面積的最大值為

5

2

2

，M的坐標(biāo)為(

10

2

，

10

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的切線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系及利用基本不等式求面積的最值．