Question

已知以向量

v

=(1，

1

2

)為方向向量的直線l過點(0，

5

4

)，拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若

OA

•

OB

+p2=0（O為原點，A、B異于原點），試求點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求直線l：y=

1

2

x+

5

4

，再根據拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上，可得方程，從而可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），根據

OA

•

OB

+p2=0，用坐標表示，結合拋物線方程，即可求得點N的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得直線l：y=

1

2

x+

5

4

     ①
過原點垂直于l的直線方程為 y=-2x    ②
解①②得x=-

1

2

，即兩直線的交點的橫坐標為x=-

1

2

．
∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上．
∴-

p

2

=-

1

2

×2，p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），
由

OA

•

OB

+p2=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又y12=4x1，y22=4x2．
代入上式

y 2 1 y 2 2

16

+y₁y₂+4=0．
解得y₁y₂=-8     
又直線ON：y=

y2

x2

x，即y=

4

y2

x      
∵y=y₁，∴y₁y₂=4x
∵y₁y₂=-8 
∴x=-2（y≠0）．
∴點N的軌跡方程為x=-2（y≠0）．

點評：本題重點考查軌跡方程，考查拋物線的方程，考查向量知識，解題的關鍵是將向量關系轉化為坐標之間的關系．