Question

【題目】在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面是菱形且與底面垂直，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接交交于，連接，通過(guò)證明//，即可得證線面平行；

（2）以中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，通過(guò)向量法即可求得二面角的余弦值.

（1）連接，交于點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>，所以,

又因?yàn)?/span>，所以，所以，

又平面，平面，

所以平面.

（2）過(guò)作于，

因?yàn)?/span>，所以是線段的中點(diǎn).

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面，連接，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，所以.

所以 平面 .

如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線

分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)，

不妨設(shè)，則，，，，，

由，得，

則的中點(diǎn)，

從而，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

不妨取，得，即.

易知平面的一個(gè)法向量為，

則，

所以二面角的余弦值為.