【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為平行四邊形，且，，平面PAC.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線PC與AD所成的角為30°，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直判斷定理:如果一條直線垂直一個平面內(nèi)的兩條相交線,那么這條線垂直這個平面，要證平面，只需證明和，即可求得答案；

（2）先求證平面，以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，求得平面PBC的法向量為，平面PDC的法向量為，根據(jù)，即可求得答案.

（1）在中，，，

由余弦定理得：

，

，，即

平面PAC，平面PAC，

.

又平面PAB，平面PAB，，

平面PAB.

（2），

是異面直線PC與AD所成的角，

又平面，

，在中，，，，

，易知，

在中，，

，取AB的中點E，連接PE，則.

由（1）知平面PAB，

，

又平面，平面ABCD，，

平面ABCD，

如圖，以A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

可得：，，，

設平面PBC的法向量為，

則

取，則，

，是平面PBC的一個法向量

設平面PDC的法向量為，

則，

則，取，則，

，是平面PDC的一個法向量.

，

由圖可知二面角是鈍二面角，

二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.

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【題目】為響應黨中央“扶貧攻堅”的號召，某單位指導一貧困村通過種植紫甘薯來提高經(jīng)濟收入.紫甘薯對環(huán)境溫度要求較高，根據(jù)以往的經(jīng)驗，隨著溫度的升高，其死亡株數(shù)成增長的趨勢.下表給出了2017年種植的一批試驗紫甘薯在溫度升高時6組死亡的株數(shù)：

經(jīng)計算： ， ， ， ， ， ， ，其中分別為試驗數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù)， .

（1）若用線性回歸模型，求關于的回歸方程（結果精確到）；

（2）若用非線性回歸模型求得關于的回歸方程為，且相關指數(shù)為.

（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好；

（ii）用擬合效果好的模型預測溫度為時該批紫甘薯死亡株數(shù)（結果取整數(shù)）.

附：對于一組數(shù)據(jù)， ，……， ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ；相關指數(shù)為： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于某種類型的口服藥，口服小時后，由消化系統(tǒng)進入血液中藥物濃度（單位）與時間小時的關系為，其中，為常數(shù)，對于某一種藥物，，．

（1）口服藥物后______小時血液中藥物濃度最高；

（2）這種藥物服藥小時后血液中藥物濃度如下表

1

2

3

4

5

6

7

8

0.9545

0.9304

0.6932

0.4680

0.3010

0.1892

0.1163

0.072

一個病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個單位以上，第三次服藥時間是______（時間以整點為準）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學從甲乙兩個教師所教班級的學生中隨機抽取100人，每人分別對兩個教師進行評分，滿分均為100分，整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以10為組距分成6組：，，，，，.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數(shù)分布表：

乙教師分數(shù)頻數(shù)分布表

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

3

3

15

19

35

25

（1）在抽樣的100人中，求對甲教師的評分低于70分的人數(shù)；

（2）從對乙教師的評分在范圍內(nèi)的人中隨機選出2人，求2人評分均在范圍內(nèi)的概率；

（3）如果該校以學生對老師評分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個教師是否可評為該年度該校優(yōu)秀教師的標準，則甲、乙兩個教師中哪一個可評為年度該校優(yōu)秀教師？（精確到0.1）

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【題目】在平行四邊形中，，，，是EA的中點（如圖1），將沿CD折起到圖2中的位置，得到四棱錐是．

（1）求證：平面PDA；

（2）若PD與平面ABCD所成的角為．且為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

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【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，,，,側面底面,且是以為底的等腰三角形.

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）若四棱錐的體積等于.問：是否存在過點的平面分別交，于點，使得平面平面？若存在，求出的面積；若不存在，請說明理由.

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【題目】由團中央學校部、全國學聯(lián)秘書處、中國青年報社共同舉辦的2018年度全國“最美中學生”尋訪活動結果出爐啦，此項活動于2018年6月啟動，面向全國中學在校學生，通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國、勤奮學習、熱心助人、見義勇為等方面表現(xiàn)突出、自覺樹立和踐行社會主義核心價值觀的“最美中學生”.現(xiàn)隨機抽取了30名學生的票數(shù)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定票數(shù)在65票以上（包括65票）定義為風華組.票數(shù)在65票以下（不包括65票）的學生定義為青春組.

（1）如果用分層抽樣的方法從青春組和風華組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，那么至少有1人在青春組的概率是多少？

（2）用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學（人數(shù)很多）中隨機選取4人，用表示所選4人中青春組的人數(shù)，試寫出的分布列，并求出的數(shù)學期望.

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