已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sinx.

(1)判斷g(x)與M間的關(guān)系,并說明理由;

(2)M中的元素是否都是周期函數(shù),證明你的結(jié)論;

(3)M中的元素是否都是奇函數(shù),證明你的結(jié)論.

思路分析:f(x)是一個(gè)抽象函數(shù),g(x)是一個(gè)具體函數(shù),(1)就是讓我們判斷g(x)是否為f(x)的一個(gè)“原函數(shù)”,也就是說,g(x)是否滿足g(x)+g(x+2)=g(x+1);若g(x)∈M,g(x)為周期函數(shù),其周期為6,那么f(x)也應(yīng)該是周期函數(shù),其周期也應(yīng)是6.這就為我們解答(2)指明了方向.

解:(1)∵sinx+sin(x+2)

=2sin(x+1)cos=sin(x+1),

    即g(x)+g(x+2)=g(x+1),

∴g(x)∈M.

(2)∵f(x)+f(x+2)=f(x+1),

∴f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),

    由此得出f(x+3)+f(x)=0,

    即f(x+3)=-f(x).

∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x).

    這就表明,f(x)是周期函數(shù),其周期為6.

(3)類似(2),可以證明y=cosx也是M中的元素,但y=cosx不是奇函數(shù).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“好集合”．給出下列4個(gè)集合：
①M={(x，y)|y=
1
x
}
②M={（x，y）|y=ex-2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序號(hào)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“好集合”．給出下列4個(gè)集合：
①M={(x，y)|y=
1
x
}   ②M={（x，y）|y=ex-2}   ③M={（x，y）|y=cosx}    ④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序號(hào)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年四川眉山市高三上學(xué)期一診測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

已知集合M={f(x)}，有下列命題

①若f(x)=，則f(x)M；

②若f(x)=2x，則f(x)M；

③f(x)M，則y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

④f(x)M，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1x2)，總有﹤0成立；

其中所有正確命題的序號(hào)是_______。(寫出所有正確命題的序號(hào))

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：模擬題 題型：填空題

已知集合M={f(x)|f2(x)-f2(y)=f(x+y)·f(x-y)，x，y∈R}有下列命題
①若，則f1(x)∈M；
②若f2(x)=2x，則f2(x)∈M；
③若f3(x)∈M，則y=f3(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
④若f4(x)∈M，則對(duì)于任意不等的實(shí)數(shù)x1，x2，總有成立；
其中所有正確命題的序號(hào)是（    ）。

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