【題目】已知橢圓：的離心率為，焦距為.

（1）求的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點（點，均在第一象限），為坐標原點.

①證明：直線的斜率依次成等比數(shù)列.

②若與關于軸對稱，證明：.

【答案】（1）； （2）①見解析；②見解析.

【解析】

（1）根據(jù)離心率、焦距和可解出，從而得到橢圓方程；（2）①設直線的方程為：，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的形式，從而求得；整理可知：，從而證得結論；②與關于軸對稱可知，由①知，則，利用兩角和差正切公式展開整理，根據(jù)基本不等式求得最小值，經驗證等號無法取得，從而證得結論.

（1）由題意可得：，解得：

橢圓的方程為：

（2）證明：①設直線的方程為：，，

由消去得：

則，且，

即直線的斜率依次成等比數(shù)列

②由題可知：

由①可知：，，

若，則兩點重合，不符合題意；可知無法取得等號

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某快餐連鎖店招聘外賣騎手，該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案：方案(a)規(guī)定每日底薪50元，快遞業(yè)務每完成一單提成3元；方案(b)規(guī)定每日底薪100元，快遞業(yè)務的前44單沒有提成，從第45單開始，每完成一單提成5元，該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務量，現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為[ 25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）隨機選取一天，估計這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務量不少于65單的概率；

（2）從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案（a）的概率為，選擇方案（b）的概率為．若甲、乙、丙三名騎手分別到該快餐連鎖店應聘，三人選擇日工資方案相互獨立，求至少有兩名騎手選擇方案(a)的概率；

（3）若僅從人均日收入的角度考慮，請你利用所學的統(tǒng)計學知識為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由．（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為A，過的直線與y軸交于點M，滿足（O為坐標原點），且直線l與直線之間的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在直線上是否存在點P，滿足？存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二面角P﹣AB﹣C的大小為120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若點P，A，B，C都在同一個球面上，則該球的表面積的最小值為（ ）

A.45πB.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點，.

（1）若線段的中點為，求直線的方程；

（2）若的斜率為，且過橢圓的左焦點，的垂直平分線與軸交于點，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)有且僅有個不同的零點，且，，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，直線過焦點且與拋物線交于、兩點，當直線的傾斜角為30°時，．

（1）求拋物線方程．

（2）在平面直角坐標系中，是否存在定點，當直線繞旋轉時始終都滿足平分．若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉為新的一年定期，當孩子18歲生日時不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為　　

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當務之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

研發(fā)費用（百萬元）

2

3

6

10

13

15

18

21

銷量（萬盒）

1

1

2

2.5

3.5

3.5

4.5

6

（1）求與的相關系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；

（2）該藥企準備生產藥品的三類不同的劑型，，，并對其進行兩次檢測，當?shù)谝淮螜z測合格后，才能進行第二次檢測．第一次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨立，設經過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學期望．

附：（1）相關系數(shù)

（2），，，．

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