Question

【題目】己知函數(shù)f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是關于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一個解，求t的值；
（2）當0＜a＜1且t=﹣1時，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函數(shù)F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在區(qū)間（﹣1，2]上有零點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵1是關于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一個解，
∴l(xiāng)oga2﹣2loga（2+t）=0，
∴2=（2+t）2 ，
∴t=﹣2；
（2）當0＜a＜1且t=﹣1時，
不等式f（x）≤g（x）可化為
loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），
故，
解得，＜x≤；
（3）F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴=﹣=﹣[（x+2）+]+4，
∵2≤（x+2）+≤，
∴﹣≤﹣[（x+2）+]+4≤4﹣2，
∴﹣≤≤4﹣2，
∴t≤﹣2或t≥．
【解析】（1）由題意得loga2﹣2loga（2+t）=0，從而解得．
（2）由題意得loga（x+1）≤2loga（2x﹣1），由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得 ， 從而解得．
（3）化簡F（x）=tx2+x﹣2t+2，從而令tx2+x﹣2t+2=0，討論可得=﹣=﹣[（x+2）+]+4，從而解得．