【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）；（2）的增區(qū)間是；

遞減區(qū)間是；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出的值可得切點坐標，再求出,可得的值，即得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）對于任意，都有等價于，令， ，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，從而可得結果.

試題解析：（1）因為函數(shù)，所以,

.又因為，

所以曲線在點處的切線方程為.

（2）函數(shù)定義域為， 由（1）可知， .

令解得.

與在區(qū)間上的情況如下：

減

極小值

增

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是；

的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）當時，“”等價于“”.

令， ，

， .

當時， ，所以在區(qū)間單調(diào)遞減.

當時， ，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.

而，

.

所以在區(qū)間上的最大值為.

所以當時，對于任意，都有.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題（3）是利用方法 ① 求得實數(shù)的取值范圍.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】某次有600人參加的數(shù)學測試，其成績的頻數(shù)分布表如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.

區(qū)間

[75，80)

[80，85)

[85，90)

[90，95)

[95，100]

人數(shù)

36

114

244

156

50

（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法從這600人中抽取20人進行成績分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生人數(shù)；

（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽取的20名學生中，要隨機選取2名學生參加活動，記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為，求的分布列與數(shù)學期望.

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【題目】在四棱錐中，底面是直角梯形， ， ， ，平面平面．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小．

（Ⅲ）在棱上是否存在點使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD ,且∠BAP=∠CDP =90°.

(1).證明:平面PAB⊥平面PAD;

(2).若PA=PD=AB=DC, ∠APD =90°,且四棱錐PABCD的體積為,求該四棱錐的側面積.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標系原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程，并說明其表示什么軌跡；

（2）若直線的極坐標方程為，求直線被曲線截得的弦長.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立極坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上任意一點，求的最小值.

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【題目】已知函數(shù)， .

（I）當a=2時，求曲線y = 在點(0，f(0))處的切線方程；

（II）求函數(shù)在區(qū)間[0 , e -1]上的最小值.

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【題目】已知點在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的右頂點，點是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由.

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【題目】已知拋物線的準線與軸交于點，過點做圓的兩條切線，切點為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線是講過定點的一條直線，且與拋物線交于兩點，過定點作的垂線與拋物線交于兩點，求四邊形面積的最小值.

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