Question

【題目】規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標(biāo)球，使目標(biāo)球運(yùn)動(dòng)，球的位置是指球心的位置，我們說球 A 是指該球的球心點(diǎn) A．兩球碰撞后，目標(biāo)球在兩球的球心所確定的直線上運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)球的運(yùn)動(dòng)方向是指目標(biāo)球被母球擊打時(shí)，母球球心所指向目標(biāo)球球心的方向．所有的球都簡(jiǎn)化為平面上半徑為 1 的圓，且母球與目標(biāo)球有公共點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)球就開始運(yùn)動(dòng)，在桌面上建立平面直角坐標(biāo)系，解決下列問題：

(1) 如圖，設(shè)母球 A 的位置為 (0， 0)，目標(biāo)球 B 的位置為 (4， 0)，要使目標(biāo)球 B 向 C(8， -4) 處運(yùn)動(dòng)，求母球 A 球心運(yùn)動(dòng)的直線方程；

(2)如圖，若母球 A 的位置為 (0， -2)，目標(biāo)球 B 的位置為 (4， 0)，能否讓母球 A 擊打目標(biāo) B 球后，使目標(biāo) B 球向 (8，－4) 處運(yùn)動(dòng)?

(3)若 A 的位置為 (0，a) 時(shí)，使得母球 A 擊打目標(biāo)球 B 時(shí)，目標(biāo)球 B(4， 0) 運(yùn)動(dòng)方向可以碰到目標(biāo)球 C(7，-5)，求 a 的最小值（只需要寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）不能；（3）.

【解析】

（1）求出直線的方程，設(shè)出球心的坐標(biāo)，利用球心在直線上以及列方程組，可求得的值.，由此求得母球運(yùn)動(dòng)的直線方程.（2）計(jì)算求得為銳角，同理，計(jì)算點(diǎn)到線段的距離，判斷出不能.（3）要使最小，臨界條件為球從球的左上方處撞擊球后，球從球的右上方處撞擊球.列方程求得的坐標(biāo)，過作傾斜角為的直線，與軸相交于，由此求得的最小值.

（1）

點(diǎn)B（4,0）與點(diǎn)C（8，－4）所石室的直線方程為：x＋y－4＝0，

依題意，知A，B兩球碰撞時(shí)，球A的球心在直線x＋y－4＝0上，且在第一象限，

此時(shí)｜AB｜＝2，設(shè)A，B兩球碰撞時(shí)球A的球心坐標(biāo)為，

則有：，解得：，，

即：A，B兩球碰撞時(shí)球A的球心坐標(biāo)為（，），

所以，母球A運(yùn)動(dòng)的直線方程為：

（2）記，因?yàn)?/span>，所以，故為銳角，同理可知也為銳角.故在直線上的投影在線段上，該點(diǎn)到的距離小于，故球經(jīng)過該點(diǎn)之前就會(huì)與球碰撞，故不可能讓母球擊打目標(biāo)球后，使目標(biāo)球向處運(yùn)動(dòng).

(3)的最小值為.要使得最小，臨界條件為球從球的左上方處撞擊球后，球從球的右上方處撞擊球.如下圖所示，設(shè)是球的所有路徑中最遠(yuǎn)離的那條路徑上離球最近的點(diǎn)，則有，聯(lián)立，解得，所有直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，易得.過作傾斜角為的直線，交軸于點(diǎn)，易得，就是一個(gè)符合題意的初始位置.若，則球會(huì)在達(dá)到之前就與球碰撞，不合題意.因此的最小值為.