Question

設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.
（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，且當時，.且，故，，，且當時，，進而求；（Ⅱ）已知數(shù)列的前項和（），可求得，由取整函數(shù)得，，故，要證明，只需證明，故可聯(lián)想到，則；（Ⅲ）先證明充分性，當時，，由取整函數(shù)的性質(zhì)得，故；必要性的證明，當時，，則有.
試題解析：（Ⅰ）解：由等比數(shù)列的，，得，，，且當時，.
所以，，，且當時，.
即
（Ⅱ）證明：因為 ，所以 ，.
因為 ，
所以 ，.
由 ，得 .
因為 ，
所以 ，
所以 ，即 .
（Ⅲ）證明：（充分性）因為 ，，
所以，
所以對一切正整數(shù)n都成立.
因為，，
所以.
（必要性）因為對于任意的，，
當時，由，得；
當時，由，，得.
所以對一切正整數(shù)n都有.
由 ，，得對一切正整數(shù)n都有，
所以公比