Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.

（1）求證:數(shù)列為等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，又對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知為正整數(shù)且，數(shù)列共有項(xiàng)，設(shè)，又，求的所有可能取值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）；（3）；

【解析】

(1)當(dāng)時(shí)，由所給的遞推關(guān)系式進(jìn)行作差變形證明后項(xiàng)與前項(xiàng)之差為常數(shù)即可證得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)求和，然后結(jié)合題意可確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)首先確定數(shù)列為等差數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性確定絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行求和，得到關(guān)于k的不等式，最后求解關(guān)于k的不等式即可確定實(shí)數(shù)的所有可能取值.

(1)當(dāng)時(shí)，，，

兩式作差得，

故，

所以數(shù)列是公差為6的等差數(shù)列，

又，

所以；

(2)由于，故.

，

顯然單調(diào)遞增，且，

故， 所以.

(3)，則是公差為的等差數(shù)列，

故當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，，

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，于是：

，

注意到，則，題中的不等式即，

所以，

所以，的所有可取值為.