【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

①求最大整數(shù)值；

②證明： ．

【答案】（1）（2）①2②見解析

【解析】試題分析：（1）將代入到函數(shù)，再對求導，分別求出和，即可求出切線方程；（2）①若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，則先證明，構造新函數(shù)，求出單調(diào)性，再同理可證，即可求出的最大整數(shù)值；②由①得，令，可得，累加后利用等比數(shù)列求和公式及放縮法即可得證.

試題解析：（1）當時，

∴，

又，∴，

則所求切線方程為，即．

（2）由題意知， ，

若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立．

①先證明．設，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，即．

同理可證

∴，∴．

當時， 恒成立．

當時， ，即不恒成立．

綜上所述， 的最大整數(shù)值為2．

②由①知， ，令，

∴

∴．

由此可知，當時， ．當時， ，

當時， ， ，當時， ．

累加得 ．

又 ，

∴ ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某協(xié)會對，兩家服務機構進行滿意度調(diào)查，在，兩家服務機構提供過服務的市民中隨機抽取了人，每人分別對這兩家服務機構進行獨立評分，滿分均為分.整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以為組距分成組：，，，，，，得到服務機構分數(shù)的頻數(shù)分布表，服務機構分數(shù)的頻率分布直方圖：

定義市民對服務機構評價的“滿意度指數(shù)”如下：

分數(shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

（1）在抽樣的人中，求對服務機構評價“滿意度指數(shù)”為的人數(shù)；

（2）從在，兩家服務機構都提供過服務的市民中隨機抽取人進行調(diào)查，試估計對服務機構評價的“滿意度指數(shù)”比對服務機構評價的“滿意度指數(shù)”高的概率；

（3）如果從，服務機構中選擇一家服務機構，以滿意度出發(fā)，你會選擇哪一家？說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】年底某購物網(wǎng)站為了解會員對售后服務（包括退貨、換貨、維修等）的滿意度，從年下半年的會員中隨機調(diào)查了個會員，得到會員對售后服務的滿意度評分如下：

根據(jù)會員滿意度評分，將會員的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分

低于分

分到分

不低于分

滿意度等級

不滿意

比較滿意

非常滿意

（1）根據(jù)這個會員的評分，估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率；

（2）以（1）中的頻率作為概率，假設每個會員的評價結果相互獨立.

（i）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，求恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意的概率；

（ii）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，記評分非常滿意的會員的個數(shù)為，求的分布列，數(shù)學期望及方差.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點的直線與交于兩點，點關于軸的對稱點為，證明：直線恒過一定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)， .

（1）當時，討論的單調(diào)性；

（2）當時， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校初三年級有名學生，隨機抽查了名學生，測試分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.用樣本估計總體，下列結論正確的是（ ）

A. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為次

B. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為次

C. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過次的人數(shù)約有人

D. 該校初三年級學生分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于次的人數(shù)約為人.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系.曲線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

（1）求曲線的直角坐標方程及曲線的極坐標方程；

（2）當（）時在曲線上對應的點為，若的面積為，求點的極坐標，并判斷是否在曲線上（其中點為半圓的圓心）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使對任意恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(2017·貴州適應性考試)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P是線段A1C1上的動點，則三棱錐PBCD 的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為(　　)

A. 1 B.

C. D. 2

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