1.已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(3,0)的連線(xiàn)的斜率之積為-$\frac{8}{9}$.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡且曲線(xiàn)C,過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn),記△AMB的面積為S1,△ANB的面積為S2,當(dāng)S1-S2取得最大值時(shí),求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值.

分析 (1)由a=3,利用橢圓的離心率公式,即可求得c,則b2=a2-c2=8,即可求得橢圓方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)MN方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,S1-S2=3丨y1丨-3丨y2丨=3丨y1+y2丨利用韋達(dá)定理及基本不等式的性質(zhì),即可求得面積最大值時(shí),m的取值,分類(lèi)討論,分別求得y1及y2,即可求得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值.

解答 解:(1)由題意可知:2a=6,則a=3,離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$,
則c=1,b2=a2-c2=8,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)MN的方程:lMN:x=my+1,
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$,整理得:(8m2+9)y2+16my-64=0,
顯然△>0,
則y1+y2=-$\frac{16m}{8{m}^{2}+9}$,y1y2=-$\frac{64}{8{m}^{2}+9}$,
S1=$\frac{1}{2}$丨AB丨×丨y1丨=3丨y1丨,同理S2=3丨y2丨,
不妨設(shè),丨y1丨>丨y2丨,
于是S1-S2=3丨y1丨-3丨y2丨=3丨y1+y2丨=$\frac{48丨m丨}{8{m}^{2}+9}$,
當(dāng)S1-S2最大時(shí),m≠0,
則S1-S2=$\frac{48}{8丨m丨+\frac{9}{丨m丨}}$≤$\frac{48}{2\sqrt{8丨m丨•\frac{9}{丨m丨}}}$=2$\sqrt{2}$,
當(dāng)且僅當(dāng)8丨m丨=$\frac{9}{丨m丨}$,即m2=$\frac{9}{8}$,即m=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$,則S1-S2取最大值,
若m=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$,則18y2+12$\sqrt{2}$y-64=0,
解得:y=$\frac{-2±\sqrt{34}}{3}$,y1=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{3}$,y2=$\frac{-2+\sqrt{34}}{3}$,
則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=丨$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$丨=丨$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{-\sqrt{2}+\sqrt{34}}$丨=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$,
若m=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$,則18y2-12$\sqrt{2}$y-64=0,
解得:y=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{34}}{3}$,則y1=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{3}$,y2=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{34}}{3}$,
此時(shí)$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=丨$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$丨=丨$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{\sqrt{2}-\sqrt{34}}$丨=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$,
綜上可知:$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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