Question

【題目】已知函數f（x）= ，a∈R．
（1）若a≠0，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，證明： ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，∴f′（x）=

，x∈（ ，1）時，f′（x）＞0，故函數的單調增區(qū)間為（ ，1）；

②a＜0， ＞1，x∈（﹣∞，1）∪（ ，+∞）時，f′（x）＞0，故函數的單調增區(qū)間為∈（﹣∞，1）和（ ，+∞）

（2）解：a=0，f（x）= ，x1＜x＜x2＜2，

證明： ＞ ，只要證明g（x）= 在（x1，2）上單調遞減．

g′（x）= ，設h（x）= ，

∴h′（x）= ＜0，

∴h（x）在（x1，2）上是減函數，

∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，

∴g（x）= 在（x1，2）上單調遞減．

∵x1＜x＜x2＜2，

∴ ＞

【解析】（1）若a≠0，求導數，分類討論，即可求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；（2）a=0，f（x）= ，x1＜x＜x2＜2，證明： ＞ ，只要證明g（x）= 在（x1 ， 2）上單調遞減．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．