Question

【題目】已知拋物線 ，M為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA,MB，切點(diǎn)分別為A,B.

（1）當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時(shí)，求過M,A,B三點(diǎn)的圓的方程；

（2）證明：以為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）設(shè)出過點(diǎn)的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到一個(gè)元二次方程，它的判別式為零，可以求出切線方程的斜率，這樣可以求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出圓心的坐標(biāo)為，由，可以求出，最后求出圓的方程；

（2）設(shè)，設(shè)切點(diǎn)分別為，，把拋物線方程化，求導(dǎo)，這樣可以求出切線的斜率，求出切線 的方程，切線的方程，又因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，切線也過點(diǎn)，這樣可以發(fā)現(xiàn)，是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，計(jì)算出，，計(jì)算，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)，最后計(jì)算出=0，這樣就證明出以為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

解：（1）解：當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，

由消得. (1)

令，解得.

代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).

設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由，得，解得.

故過三點(diǎn)的圓的方程為．

（2）證明：設(shè)，由已知得，，設(shè)切點(diǎn)分別為，，所以，，

切線 的方程為即，

切線的方程為即．

又因?yàn)榍芯�過點(diǎn)，所以得. ①

又因?yàn)榍芯�也過點(diǎn)，所以得. ②

所以，是方程的兩實(shí)根，

由韋達(dá)定理得．

因?yàn)?/span>，，

所以

．

將代入，得.

所以以為直徑的圓恒過點(diǎn)．