Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0且a≠1）．
（1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），判斷F（x）的奇偶性并證明；
（2）若關(guān)于x的方程ag(-x2+x+1)=af(m)-x有兩個不等實根，求實數(shù)m的范圍；
（3）若a＞1且在x∈[0，1]時，f(m-2x)＞

1

2

g(x)恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)F（x）的定義域，即是使得函數(shù)f（x），g（x）都有意義的條件，利用函數(shù)奇偶函數(shù)的定義檢驗F（-x）與F（x）的關(guān)系可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）原方程有兩個不等實根即-x²+x+2=1-m-x有兩個不等實根，其中

-1＜x＜2 m＜1

，從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有兩個不等實根，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x²-2x-1-m，可得

h(-1)＞0 h(2)＞0 △=4+4(1+m)＞0

，從而可求實數(shù)m的范圍；
（3）問題等價于a＞1且x∈[0，1]時 loga(1-m+2x)＞

1

2

loga(1+x)恒成立，所以x∈[0，1]有

1-m+2x＞0① 1-m+2x＞ 1+x ②

恒成立，故可求實數(shù)m的范圍．

解答：解：（1）F(x)=loga(1-x)-loga(1+x)=loga

1-x

1+x

(a＞0且a≠1)
其中

1-x＞0 1+x＞0

∴x∈（-1，1）
∵F(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga

1-x

1+x

=-F(x)
∴F（x）為奇函數(shù)． 
（2）∵函數(shù)f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）
∴g(-x2+x+1)=loga(-x2+x+2)，f(m)=loga(1-m)
∵關(guān)于x的方程ag(-x2+x+1)=af(m)-x有兩個不等實根
∴-x²+x+2=1-m-x有兩個不等實根，且

-x2+x+2＞0 1-m＞0

由

-x2+x+2＞0 1-m＞0

可得

-1＜x＜2 m＜1

從而問題可轉(zhuǎn)化為x²-2x-1-m=0在x∈（-1，2）上有兩個不等實根．
記h（x）=x²-2x-1-m，對稱軸x=1，由

h(-1)＞0 h(2)＞0 △=4+4(1+m)＞0

∴

1+2-1-m＞0 4-4-1-m＞0 4+4+4m＞0

∴-2＜m＜-1
（3）f（m-2x）=log_a（1-m+2x），
即a＞1且x∈[0，1]時 loga(1-m+2x)＞

1

2

loga(1+x)恒成立
∴x∈[0，1]有

1-m+2x＞0① 1-m+2x＞ 1+x ②

恒成立，
由①得m＜1
令

1+x

=t(t∈[1，

2

])
∴由②得2t²-t-1＞m在t∈[1，

2

]時恒成立
記q（t）=2t²-t-1，則q（t）_min＞m，
∵對稱軸為t=

1

4

∴q（t）_min=q（1）=0＞m
綜上m＜0

點評：本題綜合考查了對數(shù)函數(shù)的定義域的求解，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，對數(shù)不等式的解法，牽涉的知識比較多，但只要掌握基本知識、基本方法，問題就能迎刃而解．