Question

已知多項式f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n．
（1）求f（1）及f（-1）的值；
（2）試探求對一切整數(shù)n，f（n）是否一定是整數(shù)？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù) f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，直接求出f（1）和f（-1）的值．
（2）對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．（1⁰）先用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．再證n=0時，
f（0）是整數(shù)，再證當n為負整數(shù)時，令n=-m，m是正整數(shù)，證明f（-m）是整數(shù)，從而命題得證．

解答：解：（1）∵f(n)=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，∴f（1）=1； f（-1）=0．
（2）對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．證明如下：
（1⁰）先用數(shù)學歸納法證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．
①當n=1時，f（1）=1，結論成立．
②假設當n=k（k≥1，k∈N^*）時，結論成立，即f(k)=

1

5

k5+

1

2

k4+

1

3

k3-

1

30

k是整數(shù)，
則當n=k+1時，f(k+1)=

1

5

(k+1)5+

1

2

(k+1)4+

1

3

(k+1)3-

1

30

(k+1)=

C 0 5 k5+ C 1 5 k4+ C 2 5 k3+ C 3 5 k2+ C 4 5 k+ C 5 5

5

+

C 0 4 k4+ C 1 4 k3+ C 2 4 k2+ C 1 4 k+ C 4 4

2

+

C 0 3 k3+ C 1 3 k2+ C 2 3 k+ C 3 3

3

-

1

30

(k+1)=f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1，
根據(jù)假設f（k）是整數(shù)，而k⁴+4k³+6k²+4k+1顯然是整數(shù)，故f（k+1）是整數(shù)，從而當n=k+1時，結論也成立．
由①、②可知對對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．…（7分）
（2⁰）當n=0時，f（0）=0是整數(shù)．…（8分）
（3⁰）當n為負整數(shù)時，令n=-m，則m是正整數(shù)，由（1）f（m）是整數(shù)，
所以f(n)=f(-m)=

1

5

(-m)5+

1

2

(-m)4+

1

3

(-m)3-

1

30

(-m)=-

1

5

m5+

1

2

m4-

1

3

m3+

1

30

m=-f（m）+m⁴是整數(shù)．
綜上，對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．…（10分）

點評：本題主要考查二項式定理、用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題，推出當n=k+1時命題也成立，是解題的關鍵和難點，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．