已知多項式f(n)＝n5＋n4＋n3－n．

(Ⅰ)求f(－1)及f(2)的值；

(Ⅱ)試探求對一切整數(shù)n，f(n)是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切正整數(shù)n，是整數(shù)．

　�、佼攏＝1時，，結(jié)論成立．

　�、诩僭O(shè)當n＝k(k≥1，k∈N)時，結(jié)論成立，即是整數(shù)，則當n＝k＋1時，

　　

　　＝

　　根據(jù)假設(shè)是整數(shù)，而顯然是整數(shù)．

　　∴是整數(shù)，從而當當n＝k＋1時，結(jié)論也成立．

　　由①、②可知對對一切正整數(shù)n，是整數(shù)．7分

　　(Ⅱ)當n＝0時，是整數(shù)．8分

　　(Ⅲ)當n為負整數(shù)時，令n＝－m，則m是正整數(shù)，由(1)是整數(shù)，

　　所以

　　＝是整數(shù)．

　　綜上，對一切整數(shù)n，一定是整數(shù)．10分


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省成都市石室中學(xué)2006－2007學(xué)年度高三年級第二次月考　數(shù)學(xué)試題 題型：044

(1)

已知二次函數(shù)y＝f(x)在處取得最小值

(2)

若任意實數(shù)x都滿足f(x)·g(x)＋anx＋bn＝xn+1(g(x)為多項式，n∈N+)，試用t表示an和bn

(3)

設(shè)圓Cn的方程(x－an)2＋(y－bn)2＝rn2，圓Cn與Cn+1外切(n＝1，2，3，…)，{rn}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個圓的面積之和，求rn，Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)＝(1＋x)n且f′(x)的展開式是關(guān)于x的多項式，其中x2的系數(shù)為60，則n＝(　　)

(A)7  (B)6  (C)5  (D)4

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