Question

【題目】已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線、分別交直線于點(diǎn)、.

（1）求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，并求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)，，、，設(shè)直線的方程為，其中，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用向量共線求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后將韋達(dá)定理代入，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，即可證明出結(jié)論成立.

（1）將代入，得，因此，拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）設(shè)，，、.

因?yàn)橹本�不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線一定有斜率，設(shè)直線方程為，

與拋物線方程聯(lián)立得到，消去，得，

則由韋達(dá)定理得，.

，，

，，即，

顯然，，，，

則點(diǎn)，同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，，

，因此，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).