Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合．．

（1）求證：平面平面；

（2）是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）存在，為中點(diǎn)

【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量方法得，解得，所以為中點(diǎn)．

（1）由于為中點(diǎn)，．

又，故，

所以為直角三角形且，

即．

又因?yàn)?/span>面，面面，面面，

故面，

又面，所以面面．

（2）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

則，設(shè)，

則，

設(shè)平面的法向量為，

則有，令，則，

則平面的一個(gè)法向量為，

同理可得平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面與平面所成角為，

則由題意可得，解得，

所以點(diǎn)為中點(diǎn)．