已知函數是定義在上的偶函數,當時,。
(1)求的函數解析式,并用分段函數的形式給出;
(2)作出函數的簡圖;
(3)寫出函數的單調區(qū)間及最值.
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上海某化學試劑廠以x千克/小時的速度生產某種產品(生產條件要求),為了保證產品的質量,需要一邊生產一邊運輸,這樣按照目前的市場價格,每小時可獲得利潤是元.
(1)要使生產運輸該產品2小時獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍;
(2)要使生產運輸900千克該產品獲得的利潤最大,問:該工廠應該選取何種生產速度?并求最大利潤.
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對定義在區(qū)間上的函數,若存在閉區(qū)間和常數,使得對任意的,都有,且對任意的都有恒成立,則稱函數為區(qū)間上的“型”函數.
(1)求證:函數是上的“型”函數;
(2)設是(1)中的“型”函數,若不等式對一切的恒成立,求實數的取值范圍;
(3)若函數是區(qū)間上的“型”函數,求實數和的值.
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已知函數,其中是實數,設為該函數的圖象上的兩點,且.
⑴指出函數的單調區(qū)間;
⑵若函數的圖象在點處的切線互相垂直,且,求的最小值;
⑶若函數的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍.
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若函數為定義域上的單調函數,且存在區(qū)間(其中,使得當時, 的取值范圍恰為,則稱函數是上的正函數,區(qū)間叫做函數的等域區(qū)間.
(1)已知是上的正函數,求的等域區(qū)間;
(2)試探求是否存在,使得函數是上的正函數?若存在,請求出實數的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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設函數,是定義域為的奇函數.
(Ⅰ)求的值,判斷并證明當時,函數在上的單調性;
(Ⅱ)已知,函數,求的值域;
(Ⅲ)已知,若對于時恒成立.請求出最大的整數.
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揚州某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設計其橫斷面要求面積為平方米,且高度不低于米.記防洪堤橫斷面的腰長為(米),外周長(梯形的上底線段與兩腰長的和)為(米).
⑴求關于的函數關系式,并指出其定義域;
⑵要使防洪堤橫斷面的外周長不超過米,則其腰長應在什么范圍內?
⑶當防洪堤的腰長為多少米時,堤的上面與兩側面的水泥用料最。磾嗝娴耐庵荛L最。?求此時外周長的值.
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