設橢圓的方程為 ,斜率為1的直線不經(jīng)過原點,而且與橢圓相交于兩點,為線段的中點.
(1)問:直線與能否垂直?若能,求之間滿足的關系式;若不能,說明理由;
(2)已知為的中點,且點在橢圓上.若,求之間滿足的關系式.
(1)直線與不能垂直;(2)
解析試題分析:(1)設直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消去整理為關于的一元二次方程,因為有兩個交點則判別式應大于0,由韋達定理可得根與系數(shù)的關系,用中點坐標公式求點的坐標。求出直線的斜率,假設兩直線垂直則斜率相乘等于,解出的關系式,根據(jù)關系式及橢圓中的關系判斷假設成立與否。(2)∵M為ON的中點,M為AB的中點,∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵,∴四邊形OANB為矩形,∴,轉(zhuǎn)化為向量問題,可得的關系式。由中點坐標公式可得點的坐標,將其代入橢圓方程,與上式聯(lián)立消去即可得之間滿足的關系式。
試題解析:解答:(1)∵斜率為1的直線不經(jīng)過原點,而且與橢圓相交于兩點,
∴可以設直線的方程為.
∵,∴,
∴. ① 1分
∵直線與橢圓相交于兩點,∴
. ② 2分
且. ③ 3分
∵為線段的中點,∴,
∴,∴. 4分
假設直線與能垂直.
∵直線的斜率為1,∴直線的斜率為-1,
∴,∴. 5分
∵在橢圓方程中,,
∴假設不正確,在橢圓中直線與不能垂直. 6分
(2)∵M為ON的中點,M為AB的中點,∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵,∴四邊形OANB為矩形,∴, 8分
∴,∴,∴,
∴,
∴,整理得. 10分
∵點在橢圓上,∴,
∴. 此時,滿足,
消去得,即. 12分
考點:1直線與橢圓的位置關系;2直線垂直時斜率的關系;3轉(zhuǎn)化思想。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知點、為雙曲線:的左、右焦點,過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點,且.圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為、,求的值;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為F2(1,0),點 在橢圓上.
(1)求橢圓方程;
(2)點在圓上,M在第一象限,過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點,問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值?如果是,求出定值,如不是,說明理由.
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已知定點,曲線C是使為定值的點的軌跡,曲線過點.
(1)求曲線的方程;
(2)直線過點,且與曲線交于,當的面積取得最大值時,求直線的方程;
(3)設點是曲線上除長軸端點外的任一點,連接、,設的角平分線交曲線的長軸于點,求的取值范圍.
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已知拋物線,點,過的直線交拋物線于兩點.
(1)若,拋物線的焦點與中點的連線垂直于軸,求直線的方程;
(2)設為小于零的常數(shù),點關于軸的對稱點為,求證:直線過定點
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓與橢圓中心在原點,焦點均在軸上,且離心率相同.橢圓的長軸長為,且橢圓的左準線被橢圓截得的線段長為,已知點是橢圓上的一個動點.
⑴求橢圓與橢圓的方程;
⑵設點為橢圓的左頂點,點為橢圓的下頂點,若直線剛好平分,求點的坐標;
⑶若點在橢圓上,點滿足,則直線與直線的斜率之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,已知點,是動點,且的三邊所在直線的斜率滿足.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)若是軌跡上異于點的一個點,且,直線與交于點,問:是否存在點,使得和的面積滿足?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓兩焦點坐標分別為,,一個頂點為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)是否存在斜率為的直線,使直線與橢圓交于不同的兩點,滿足. 若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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