如圖,橢圓與橢圓中心在原點,焦點均在軸上,且離心率相同.橢圓的長軸長為,且橢圓的左準線被橢圓截得的線段長為,已知點是橢圓上的一個動點.

⑴求橢圓與橢圓的方程;
⑵設(shè)點為橢圓的左頂點,點為橢圓的下頂點,若直線剛好平分,求點的坐標;
⑶若點在橢圓上,點滿足,則直線與直線的斜率之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.

(1),(2),(3).

解析試題分析:(1)求橢圓方程,基本方法是待定系數(shù)法.關(guān)鍵是找全所需條件. 橢圓中三個未知數(shù)的確定只需兩個獨立條件,根據(jù)橢圓的長軸長為,又由橢圓的左準線,所以,,,就可得到橢圓的標準方程;由橢圓與橢圓離心率相同,得再由橢圓過點,代入可得橢圓(2)涉及弦中點問題,一般用“點差法”構(gòu)造等量關(guān)系.本題較簡單,可直接求出中點坐標,再利用直線與橢圓聯(lián)立方程組求交點坐標;(3)求定值問題,一是確定定值,這可利用特殊情況給于確定,二是參數(shù)選擇,不僅要揭示問題本質(zhì),更要易于消元,特別是整體消元.本題研究的是直線與直線的斜率之積,即它們坐標滿足為定值,參數(shù)選為點的坐標,利用點的坐標滿足進行整體消元.
試題解析:⑴設(shè)橢圓方程為,橢圓方程為,
,∴,又其左準線,∴,則
∴橢圓方程為,其離心率為,                            3分
∴橢圓,由線段的長為,得,代入橢圓,
,∴,橢圓方程為;                        6分
,則中點為,∴直線,   7分
,得
∴點的坐標為;                      10分
⑶設(shè),,則,,
由題意,∴               12分

            14分

練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓C1y2=1,橢圓C2C1的長軸為短軸,且與C1有相同的離心率.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,點A,B分別在橢圓C1C2上,=2,求直線AB的方程.

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已知橢圓C=1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系,直線lxy=0與以原點為圓心, 以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)M是橢圓的上頂點,過點M分別作直線MA,MB交橢圓于AB兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為k1k2,且k1k2=4,證明:直線AB過定點.

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設(shè)橢圓的方程為 ,斜率為1的直線不經(jīng)過原點,而且與橢圓相交于兩點,為線段的中點.
(1)問:直線能否垂直?若能,求之間滿足的關(guān)系式;若不能,說明理由;
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已知拋物線的頂點在坐標原點,焦點軸上,拋物線上的點的距離為2,且的橫坐標為1.直線與拋物線交于兩點.
(1)求拋物線的方程;
(2)當直線,的傾斜角之和為時,證明直線過定點.

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已知橢圓的離心率為,直線與圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓的交點為,求弦長.

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在平面直角坐標系中,已知點,點在直線上運動,過點垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過(1)中的軌跡上的定點作兩條直線分別與軌跡相交于,兩點.試探究:當直線,的斜率存在且傾斜角互補時,直線的斜率是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,說明理由.

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已知曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為,曲線、相交于、兩點.(
(Ⅰ)求、兩點的極坐標;
(Ⅱ)曲線與直線為參數(shù))分別相交于兩點,求線段的長度.

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已知離心率的橢圓一個焦點為.
(1)求橢圓的方程;
(2) 若斜率為1的直線交橢圓兩點,且,求直線方程.

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