設(shè)函數(shù)f(x)=
log
1-mx
x-1
a
為奇函數(shù),g(x)=f(x)+loga(x-1)(ax+1)( a>1,且m≠1).
(1)求m值;
(2)求g(x)的定義域;
(3)若g(x)在[-
5
2
,-
3
2
]
上恒正,求a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)可知f(x)=-f(-x),把f(x)的解析式代入即可求得m.
(2)由(1)可得f(x)的解析式,進(jìn)而根據(jù)g(x)=f(x)+loga(x-1)(ax+1)可得g(x)的解析式,根據(jù)對數(shù)的真數(shù)需大于0,進(jìn)而可得x的范圍.
(3)根據(jù)g(x)在[-
5
2
,-
3
2
]
上恒成立,對于g(x)的解析式只需(x+1)(ax+1)>1,進(jìn)而根據(jù)x的范圍求得a的范圍.
解答:解:(1)f(x)是奇函數(shù),f(x)=-f(-x)=-loga
1+mx
-x-1
=loga
-x-1
1+mx

1-mx
x-1
=
-x-1
1+mx
x2-1=(mx)2-1

∴(m2-1)x2=0,又m≠1
∴m=-1;
(2)由(1)f(x)=loga
x+1
x-1
,g(x)=loga
x+1
x-1
+loga[(x-1)(ax+1)]

x必須滿足
(x-1)(ax+)>0
(x+1)(x-1)>0

x<-1或x>1(a>1,-
1
a
>-1)

∴g(x)的定義域為{x:x<-1或x>1}
(3)∵a>1,g(x)在[-
5
2
,-
3
2
]上恒正,
即(x+1)(ax+1)>1
ax+1<
1
x+1
ax<-
x
x+1
∴a>-
1
x+1

x∈[-
5
2
,-
3
2
]
-
1
x+1
≤-
1
(-
3
2
)+1
=2∴a>2

∴a的取值范圍是(2,+∞).
點評:本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,定義域和值域都是考試常考的內(nèi)容.
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