Question

20．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若a＞1，討論f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）若a=1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥1\\{e}^{x-1}-x，x＜1\end{array}\right.$．f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{2}{x}，x≥1\\{e}^{x-1}-1，x＜1\end{array}\right.$，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取最小值0；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$．f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2ax-\frac{2}{x}，x≥a\\{e}^{x-1}+a-2，x＜a\end{array}\right.$，求出函數(shù)的最小值，分析最小值的符號，可得答案．

解答 解：（1）若a=1，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥1\\{e}^{x-1}-x，x＜1\end{array}\right.$．
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{2}{x}，x≥1\\{e}^{x-1}-1，x＜1\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；
當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0，函數(shù)為增函數(shù)；
故當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取最小值0；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}^{2}-1）-2lnx，x≥a}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，x＜a}\end{array}\right.$．
f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}2ax-\frac{2}{x}，x≥a\\{e}^{x-1}+a-2，x＜a\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜a時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；
當(dāng)x≥a時，f′（x）≥0，函數(shù)為增函數(shù)；
故當(dāng)x=a時，函數(shù)f（x）取最小值a³-a-2lna，
∵a＞1，∴a³-a-2lna＞0，
故函數(shù)f（x）不存在零點．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔．