Question

【題目】對(duì)于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)且與的對(duì)稱(chēng)軸不平行（或重合），則稱(chēng)與相切，直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的切線(xiàn)．

（1）已知是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)的的切線(xiàn)的斜率；

（2）已知為軸下方一點(diǎn)，過(guò)引拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，．求證：成等差數(shù)列；

（3）如圖所示，、是拋物線(xiàn)上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的的切線(xiàn)分別是，直線(xiàn)交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn)．設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)根，表示實(shí)數(shù)中較大的值．求證：“點(diǎn)在線(xiàn)段上”的充要條件是“”．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）將拋物線(xiàn)方程變?yōu)?/span>，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義證得結(jié)論；

（2）利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)，聯(lián)立可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即，證得結(jié)論；

（3）首先聯(lián)立方程，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到的值；

①當(dāng)在上時(shí)，由可求得，進(jìn)而必要性可證得；

②當(dāng)，可得，進(jìn)而，充分性可證得；

由此可總結(jié)出結(jié)論.

（1）將拋物線(xiàn)方程變?yōu)椋?/span>

當(dāng)時(shí)，，即切線(xiàn)的斜率

（2）由（1）知，直線(xiàn)；直線(xiàn)

由得：

又，

為直線(xiàn)交點(diǎn)

成等差數(shù)列

（3）在拋物線(xiàn)上

由（1）知：

同理可得：

聯(lián)立，解得：，，即

方程兩根為，

必要性：當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，

即

充分性：當(dāng)時(shí)，

，即

在線(xiàn)段上

綜上所述：“點(diǎn)在線(xiàn)段上”的充要條件是“”