Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：，如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=-3于點D（-3，m），
（Ⅰ）求m²+k²的最小值；
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|·|OE|，
（�。┣笞C：直線l過定點；
（ⅱ）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意：設直線l：y=kx+n(n≠0)，
由，消y得：，
設A、B，AB的中點E，
則由韋達定理得：=，
即，，
所以中點E的坐標為E，
因為O、E、D三點在同一直線上，所以k_OE=k_OD，
即，解得，
所以m²+k²=，當且僅當k=1時取等號，
即m²+k²的最小值為2。
（Ⅱ）（ⅰ）證明：由題意知：n＞0，因為直線OD的方程為，
所以由得交點G的縱坐標為，
又因為，，且|OG|²=|OD|·|OE|，
所以，
又由（Ⅰ）知：，所以解得k=n，
所以直線l的方程為l：y=kx+k，即有l(wèi)：y=k（x+1），
令x=-1得，y=0，與實數(shù)k無關，所以直線l過定點(-1，0)；
（ⅱ）假設點B，G關于x軸對稱，則有△ABG的外接圓的圓心在x軸上，
又在線段AB的中垂線上，由（�。┲�點G，
所以點B，
又因為直線l過定點(-1，0)，
所以直線l的斜率為，
又因為，所以解得或6，
又因為，所以m²=6舍去，即m²=1，
此時k=1，m=1，E，
AB的中垂線為2x+2y+1=0，
圓心坐標為，G，圓半徑為，
圓的方程為；
綜上所述，點B，G關于x軸對稱，此時△ABG的外接圓的方程為。