已知函數(shù).
(1)若曲線在和處的切線相互平行,求的值;
(2)試討論的單調(diào)性;
(3)設(shè),對(duì)任意的,均存在,使得.試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
解析試題分析:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用條件“曲線在和處的切線相互平行”得到,從而在方程中求出的值;(2)對(duì)參數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論,以確定方程的根是否在定義域內(nèi),并對(duì)時(shí),就導(dǎo)數(shù)方程的根與的大小進(jìn)行三種情況的分類討論,從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)將問(wèn)題中的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,充分利用(2)的結(jié)論確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值,從而求出參數(shù)的取值范圍.
試題解析:函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/97/c/1senh3.png" style="vertical-align:middle;" />,
(1)∵函數(shù)
依題意,,即,解得;
(2),
①當(dāng)時(shí),,,
在區(qū)間上,;在區(qū)間上,,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;
②當(dāng)時(shí),,
在區(qū)間和上,;在區(qū)間上,,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;
③當(dāng)時(shí),,故的單調(diào)遞增區(qū)間為;
④當(dāng)時(shí),,
在區(qū)間和上,;在區(qū)間上,,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;
(3)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.
由已知,g(x)max=0,由(2)可知,
①當(dāng)a≤時(shí),f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2
=-2a-2+2ln2,
∴-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1,ln2-1<0,故ln2-1<a≤.
②當(dāng)a>時(shí),f(x)在]上單調(diào)遞增,在]上單調(diào)遞減,
故f(x)max=f=-2--2lna.
由a>可知lna>ln>ln=-1,2lna>-2,-2lna<2,
∴-2-2lna<0,即f(x)max<0,符合題意。
綜上所述,a>ln2-1.
考點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程;2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;3.函數(shù)不等式
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
已知函數(shù)R)的圖象如圖所示,它與x軸在原點(diǎn)處相切,且x軸與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(如圖陰影部分)的面積為,則a=____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍_______________
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