Question

18．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2CB=2，∠ABC=60°，在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF=2EC，EC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）求BF與平面ACEF所成的角的正切．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理和勾股定理求出BC⊥AC，由EC⊥平面ABCD得出AC⊥EC，從而證明AC⊥平面BCE，AC⊥BE；
（Ⅱ）由BC⊥AC，BC⊥EC，得出BC⊥平面ACEF，BC⊥CF，得出∠BFC為BF與平面ACEF所成的角；
求出它的正切值即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：在△ABC中，
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC；     …（2分）
又∵EC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴AC⊥EC；   …（4分）
∵BC∩EC=C，
∴AC⊥平面BCE，
由BE?平面BCE，
∴AC⊥BE；        …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
EF=EC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC⊥AC，BC⊥EC，且AC∩EC=C，

∴BC⊥平面ACEF，
又CF?平面ACEF，
∴BC⊥CF，
∴∠BFC為BF與平面ACEF所成的角；…（9分）
又CF=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴tan∠BFC=$\frac{BC}{FC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即BF與平面ACEF所成的角的正切為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了空間中的垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與平面所成角的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性問(wèn)題．