Question

如圖2-4-13，已知C點在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點，∠ACB的平分線CD交AE于F點，交AB于D點.

圖2-4-13

(1)求∠ADF的度數(shù).

(2)若∠ACB的度數(shù)為y度，∠B的度數(shù)為x度，那么y與x之間有怎樣的關(guān)系？試寫出你的猜測并給出證明.

(3)若AB=AC，求AC∶BC.

Answer 1

思路分析:（1）中由AC為⊙O切線可得∠B=∠EAC，由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠DCB，根據(jù)三角形外角定理，得到∠ADF=∠AFD，建立等腰三角形，再由頂角求底角；（2）中則利用三角形內(nèi)角和定理得到方程，獲得關(guān)系；（3）中求線段的比值，利用△ACE∽△ABC可得.

解:（1）∵AC為⊙O切線，

∴∠B=∠EAC.

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB.

∴∠B＋∠DCB=∠EAC＋∠ACD，即∠ADF=∠AFD.

∵BE為⊙O直徑，∴∠DAE=90°.

∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.

（2）∵∠B=∠EAC，∠B＋∠BAC＋∠ACB=180°,

∴x＋90＋x＋y=180.∴y=90-2x.

∵0＜∠B＜∠ADC，∴0＜x＜45.

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=90-2x，其中x的取值范圍是0＜x＜45.

（3）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，

∴△ACE∽△ABC.∴.

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB,即x=y.

又∵y=90-2x，∴x=90-2x，x=30.

∴在Rt△ABE中，=tan∠ABE=tan30°=.