Question

已知橢圓C：(a＞b＞0)，其焦距為2c，若(≈0.618)，則稱橢圓C為“黃金橢圓”．

(1)求證：在黃金橢圓C：(a＞b＞0)中，a、b、c成等比數(shù)列．

(2)黃金橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F₂(c，0)，P為橢圓C上的

任意一點(diǎn)．是否存在過(guò)點(diǎn)F₂、P的直線l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿足？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，以A(－a，0)、B(a，0)、D(0，－b)、E(0，b)為頂點(diǎn)的菱形ADBE的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)F₁、F₂．

試寫(xiě)出“黃金雙曲線”的定義；對(duì)于上述命題，在黃金雙曲線中寫(xiě)出相關(guān)的真命題，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由及，得，故a、b、c成等比數(shù)列．(4分) 　　(2)解：由題設(shè)，顯然直線l垂直于x軸時(shí)不合題意，設(shè)直線l的方程為， 　　得，又，及，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，(6分) 　　因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，得，，故存在滿足題意的直線，其斜率．(10分) 　　(3)黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，若(或?qū)懗?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2103/0022/308fc2ce0a6bb53c35914ceb1fba949b/C/Image56.gif" width=68 HEIGHT=41>)，則稱雙曲線為“黃金雙曲線”．(12分) 　　在黃金雙曲線中有真命題：已知黃金雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，以、、、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)頂點(diǎn)、．(14分) 　　證明：直線的方程為，原點(diǎn)到該直線的距離為，將代入，得，又將代入，化簡(jiǎn)得，故直線與圓相切，同理可證直線、、均與圓相切，即以、為直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓，命題得證．(16分)