（本題滿分14分）

已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C上的動點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

 (1) .  (2)橢圓C上存在四個點，分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直.  

【解析】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第二問的關鍵在于根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關于點P坐標的等式．

（1）直接根據(jù)條件列出 a2=b2+c2，a=3，e=，解方程求出b，c即可得到橢圓C的方程；

（2）先根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關于點P坐標的等式；再結合點P在橢圓上即可求出點P的坐標．

解：(1)設橢圓的半焦距為c,依題意,  ∴b=2,   ---------2分

∴所求橢圓方程為.      ---------------4分

(2)如圖，設P點坐標為(x0,y0),                -------5分

若∠APB=90°,則有|OA|=|AP|.               ---------6分

即|OA|=,

有2=,

兩邊平方得x02+y02=8                       ①

又因為P(x0,y0)在橢圓上，所以4x02+9y02=36  ②

①,②聯(lián)立解得            ---------9分

所以滿足條件的有以下四組解

     -----------12分

所以，橢圓C上存在四個點，分別由這四個點向圓O所引的兩條切線均互相垂直.         --------14分

 

練習冊系列答案
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A．選修4-4：極坐標與參數(shù)方程在極坐標系中，直線l 的極坐標方程為θ=
π
3
 （ρ∈R ），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
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(本題滿分14分)

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(2)判斷的奇偶性；

(3)方程是否有根?如果有根，請求出一個長度為的區(qū)間，使

；如果沒有，請說明理由?(注：區(qū)間的長度為).

 

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