已知直線l1過A(0,1),與直線x=-2相交于點P(-2,y0),直線l2過B(0,-1)與x相交于Q(x0,0),x0、y0滿足y0-
x0
2
=1
,l1∩l2=M.
(Ⅰ)求直線l1的方程(方程中含有y0);
(Ⅱ)求點M的軌跡C的方程;
(Ⅲ)過C左焦點F1的直線l與C相交于點A、B,F(xiàn)2為C的右焦點,求△ABF2面積最大時點F2到直線l的距離.
(Ⅰ)∵直線l1過A(0,1),與直線x=-2相交于點P(-2,y0),
∴直線l1的斜率k為k=
1-y0
2

∴直線l1的方程為y=
1-y0
2
x+1
.…(3分)
(Ⅱ)當x0=0時,直線l2就是y軸,M(0,1).
當x0≠0時,直線l2方程為y=
1
x0
x-1
.(1)
y0-
x0
2
=1
,∴k=-
x0
4

∴直線l1的方程可變?yōu)?span >y=-
x0
4
x+1.(2)
由(1)(2)得
x2
4
+y2=1

∵P點在直線x=-2上,
∴l(xiāng)2不經(jīng)過B(0,-1),即B(0,-1)不在軌跡C上,
∴軌跡C的方程為
x2
4
+y2=1
(y≠-1).…(7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得F1(-
3
,0),F2(
3
,0)
,根據(jù)題意直線l與x軸不能重合,
∴可設(shè)l的方程為x=ky-
3
,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
x=ky-
3
代入
x2
4
+y2=1
化簡并整理得(k2+4)y2-2
3
ky-1=0
,
y1+y2=
2
3
k
k2+4
,y1y2=-
1
k2+4
,
|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
(
2
3
k
k2+4
)
2
+
4
k2+4
=4
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6
,
∴△ABF2面積S=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|=4
3
1
(k2+1)+
9
k2+1
+6
4
3
1
2
(k2+1)•
9
k2+1
+6
=2
,
當且僅當k2+1=
9
k2+1
,即k=±
2
時等號成立.
∴△ABF2面積最大時,l的方程為
2
y+
3
=0

F2(
3
,0)
到直線l的距離d為d=
|
3
+
3
|
3
=2
.…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=2x與拋物線C:y=
1
4
x2
交于A(xA,yA)、O(0,0)兩點,過點O與直線l垂直的直線交拋物線C于點B(xB,yB).如圖所示.
(1)求拋物線C的焦點坐標;
(2)求經(jīng)過A、B兩點的直線與y軸交點M的坐標;
(3)過拋物線y=
1
4
x2
的頂點任意作兩條互相垂直的直線,過這兩條直線與拋物線的交點A、B的直線AB是否恒過定點,如果是,指出此定點,并證明你的結(jié)論;如果不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知m>1,直線l:x-my-
m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0(其中ab≠0,a≠b,c>0),它們所表示的曲線可能是( 。
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,圓O的半徑為定長r,A是圓O外一定點,P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是( 。
A.橢圓B.圓C.雙曲線D.直線

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的漸近線方程為y=±
3
x
,O為坐標原點,點M(
5
,
3
)
在雙曲線上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點,且
OP
OQ
,求|OP|2+|OQ|2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個焦點F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(-1,
2
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C的左、右頂點A、B,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P為以F1F2為直徑的圓上異于F1,F(xiàn)2的動點,問
AP
BP
是否為定值,若是求出定值,不是說明理由?
(3)是否存在過點Q(-2,0)的直線l與橢圓C交于兩點M、N,使得|FD|=
1
2
|MN|
(其中D為弦MN的中點)?若存在,求出直線l的方程:若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1
有相同的焦點,直線y=
3
x
為C的一條漸近線.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點P(0,4)的直線l,交雙曲線C于A、B兩點,交x軸于Q點(Q點與C的頂點不重合),當
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
,且λ1+λ2=-
8
3
時,求Q點的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知圓心為F1的圓的方程為(x+2)2+y2=32,F(xiàn)2(2,0),C是圓F1上的動點,F(xiàn)2C的垂直平分線交F1C于M.
(1)求動點M的軌跡方程;
(2)設(shè)N(0,2),過點P(-1,-2)作直線l,交M的軌跡于不同于N的A,B兩點,直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2為定值.

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同步練習(xí)冊答案