已知直線l:y=2x與拋物線C:y=
1
4
x2
交于A(xA,yA)、O(0,0)兩點(diǎn),過點(diǎn)O與直線l垂直的直線交拋物線C于點(diǎn)B(xB,yB).如圖所示.
(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)過拋物線y=
1
4
x2
的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線,過這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)A、B的直線AB是否恒過定點(diǎn),如果是,指出此定點(diǎn),并證明你的結(jié)論;如果不是,請說明理由.
(1)拋物線C:y=
1
4
x2
的方程化為x2=4y,
∴2p=4,p=2.…(2分)
∴拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).…(4分)
(2)聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=2x
,解得點(diǎn)A坐標(biāo)為(8,16).…(6分)
聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
2
x
,解得點(diǎn)B坐標(biāo)為(-2,1).…(7分)
所以直線AB的方程為y-1=
16-1
8-(-2)
•(x+2)
,…(8分)
令x=0,解得y=4.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4).…(9分)
(3)結(jié)論:過拋物線y=
1
4
x2
的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線,
過這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)的直線AB恒過定點(diǎn)(0,4).…(10分)
證明如下:
設(shè)過拋物線y=
1
4
x2
的頂點(diǎn)的一條直線為y=kx(k≠0),
則另一條為y=-
1
k
x

聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
k
x
,解得點(diǎn)A坐標(biāo)為(4k,4k2).…(11分)
聯(lián)立方程組
y=
1
4
x2
y=-
1
k
x
,解得點(diǎn)B坐標(biāo)為(-
4
k
4
k2
).…(12分)
所以直線AB的方程為y-
4
k2
=
4k2-
4
k2
4k-(-
4
k
)
•(x+
4
k
)
,…(13分)
令x=0,解得y=4.
∴直線AB恒過定點(diǎn)(0,4).…(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(文)已知橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
的一條弦的中點(diǎn)為P(4,2),求此弦所在直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若直線mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4相交,則點(diǎn)P(m,n)與橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1的位置關(guān)系為( 。
A.點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)B.點(diǎn)P在橢圓C上
C.點(diǎn)P在橢圓C外D.以上三種均有可能

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,2),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn).
(1)若點(diǎn)M的軌跡為曲線C,求此曲線的方程;
(2)設(shè)直線l:x+y+3=0,求曲線C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)的離心率e=
6
3
,短軸長為2.
(1)求橢圓的方程.
(2)已知定點(diǎn)E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn).問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)(0,4),離心率為
3
5

(1)求C的方程;
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為
4
5
的直線被C所截線段的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知p:方程
x2
k-4
+
y2
k-6
=1
表示雙曲線,q:過點(diǎn)M(2,1)的直線與橢圓
x2
5
+
y2
k
=1
恒有公共點(diǎn),若p∧q為真命題,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點(diǎn)F(1,0),C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)M(4,0)的直線l與拋物線C2分別相交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)寫出拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若
AM
=
1
2
MB
,求直線l的方程;
(Ⅲ)若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P在拋物線C2上,直線l與橢圓C1有公共點(diǎn),求橢圓C1的長軸長的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直線l1過A(0,1),與直線x=-2相交于點(diǎn)P(-2,y0),直線l2過B(0,-1)與x相交于Q(x0,0),x0、y0滿足y0-
x0
2
=1
,l1∩l2=M.
(Ⅰ)求直線l1的方程(方程中含有y0);
(Ⅱ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅲ)過C左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于點(diǎn)A、B,F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn),求△ABF2面積最大時點(diǎn)F2到直線l的距離.

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同步練習(xí)冊答案