Question

10．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的離心率為$e=\frac{1}{2}$，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，以橢圓短軸為直徑的圓與直線$x-y+\sqrt{6}=0$相切．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₁、斜率為k₁的直線l₁與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F₂、斜率為k₂的直線l₂與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，且直線l₁，l₂相交于點(diǎn)P，若直線OA，OB，OC，OD的斜率k_OA，k_OB，k_OC，k_OD滿足k_OA+k_OB=k_OC+k_OD，求證：動(dòng)點(diǎn)P在定橢圓上，并求出此橢圓方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得b，利用橢圓的離心率及a²=c²+b²，即可求得a的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時(shí)，可得l₁的方程為y=k₁（x+1），l₂的方程為y=k₂（x-1）．與橢圓方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系，再利用斜率計(jì)算公式和已知即可得出k₁與k₂的關(guān)系，利用直線的斜率，即可求得橢圓方程．

解答 解：（Ⅰ）由以橢圓短軸為直徑的圓與直線$x-y+\sqrt{6}=0$相切，則圓心O到直線的距離d=b，
∴b=d=$\frac{丨0-0+\sqrt{6}丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
a²=c²+b²=c²+3，解得：a=2，c=1，
∴橢圓E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）．
當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時(shí)，l₁的方程為y=k₁（x+1），l₂的方程為y=k₂（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得到（3+4k₁²）x²+8k₁²x+4k₁²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}_{1}^{2}}{3+4{k}_{1}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}_{1}^{2}-12}{3+4{k}_{1}^{2}}$．
同理x₃+x₄=$\frac{8{k}_{2}^{2}}{3+4{k}_{2}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{4{k}_{2}^{2}-12}{3+4{k}_{2}^{2}}$．（*）
∵k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，k_OB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}+{k}_{1}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12{k}_{1}}{4{k}_{1}^{2}-12}$，
同理可得：k_OC+k_OD=$\frac{-12{k}_{2}}{4{k}_{2}^{2}-12}$．
由k_OA+k_OB=k_OC+k_OD，則$\frac{12{k}_{1}}{4{k}_{1}^{2}-12}$=$\frac{-12{k}_{2}}{4{k}_{2}^{2}-12}$．
整理得：k₁k₂=-3．
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則$\frac{y}{x+1}$•$\frac{y}{x-1}$=-3，（x≠±1）
整理得：$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1$，（x≠±1）
由當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）也滿足，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{y^2}{3}+{x^2}=1$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．