Question

1．已知等比數列{a_n}中a₁=2，公比q滿足lg3•log₃q=lg2．
（1）試寫出這個數列的通項公式；
（2）若b_n=a_n+n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據對數的運算性質，求得q，根據等比數列通項公式，即可求得數列{a_n}通項公式；
（2）根據等比數列及等差數列前n項和公式，即可求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）由lg3•log₃q=lg3×$\frac{lgq}{lg3}$=lgq=lg2．
則q=2，
則a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴數列{a_n}通項公式a_n=2ⁿ；
（2）由b_n=a_n+n=2ⁿ+n，
S_n=（2¹+1）+（2²+2）+（2²+3）+…+（2ⁿ+n），
=2¹+2²+2³+…+2ⁿ+1+2+3+…+n，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$，
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴數列{b_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺¹+$\frac{n（n+1）}{2}$-2．

點評 本題考查等比數列的性質，等比數列及等差數列的前n項和，考查計算能力，屬于基礎題．